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ベクトルの演習問題について

次の問題がわかりません。 ご教授ください。 平行四辺形ABCDの内部の点Pが対角線BDを 4:5に内分している。 このとき、辺ABの中点をM,辺BCの中点をN,直線APと直線MNの交点をQとし, AB=2,AD=1,∠DAB=(π/3)のとき,    (1) ベクトル(MQ)=□ベクトル(MN)     (2) ベクトル(AQ)の大きさ=ルート(□) である。(1)の□は一ケタの整数、(2)の□は2ケタの整数です。 ベクトルの問題で式がうまく表記できなくて申し訳ないです。。 宜しくお願いします。

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  • 回答No.2

わりい、わりい、 NO1は間違っているわ(ポリポリ)。 暑いんでさぁ~、頭がボーッとしてるんだわ。 何かおかしいなと思って、珍しく紙と鉛筆をつかって、(1)だけ計算してみました。 (1) 点PはBDを4:5に内分しているのだから、  AP↓ = (5a↓ + 4b↓)/9 Mは辺ABの中点なのだから、  AM↓ = (1/2)・a↓ NはBCの中点なのだから、  AN↓ = a↓ + (1/2)/b↓ 交点Qは直線AP上にあるのだから  AQ↓ = s(5a↓ + 4b↓)/9     (A) 直線MN上にあるのだから、  AQ↓ = AM↓ +t(NM↓) = AM↓ t(AN↓-AM↓)     = (1/2)・a↓ + (t/2)・(a↓+b↓)    (B) で、(A)と(B)から   (一次独立のおまじないは忘れないように!!)  (5/9)・s = (t+1)/2  (4/9)・s = t/2 となって、 これを解く  s = 9/2  t = 4 で、  MQ = 4MN       (∵ MQ↓ = AQ↓- AM↓ = t(NM↓)だから) となるのよ。 □は「4」 (2) AQ↓ = (5/2)・a↓ + 2b↓ になるので、 上の式から内積AQ↓・AQ↓を使って計算する。 すると、 AQ↓・AQ↓ = (5/2)^2・|a↓|^2 + 2・(5/2)・2・|a↓||b↓|cos(π/3) + 2^2・|b↓|^2  = (5/2)^2・2^2 + 10・2・1・1/2 + 4・1^2  = 25 + 10 + 4  = 39 ですか。 よって AQ = √39 NO1の回答は、なかったことにしてください(ポリポリ)。 で、内積の計算は、自分で確かめてください。 俺の計算は、あやしいんで。

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質問者からのお礼

しばらくネットが見れない環境におり遅くなりました。 大変申し訳ありませんでした。 暑い中とても詳しく回答を示して頂き 本当にありがとうございました。 計算ミスは大丈夫です。私もよくしますよ。。笑 2つの方向性を示して頂き大変勉強になりました。 本当にありがとうございました。 また宜しくお願いします。

その他の回答 (2)

  • 回答No.3

やっぱ、暑くてダメだ。 NO2にもおかしなところがある。 【間違い】  AQ↓ = AM↓ +t(NM↓) = AM↓ t(AN↓-AM↓)     = (1/2)・a↓ + (t/2)・(a↓+b↓)    (B) 【正しい】  AQ↓ = AM↓ +t(NM↓) = AM↓ + t(AN↓-AM↓)     = (1/2)・a↓ + (t/2)・(a↓+b↓)    (B) 「+」が抜けているので、ヨロシク。

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質問者からのお礼

丁寧にご訂正頂きありがとうございました。 助かりました~

  • 回答No.1

わたしは、計算が苦手なので、計算が入る問題はあまり解きたくないのですけれども・・・ (1) AB↓ = a↓ AD↓ = b↓      (記号↓はベクトルの意味。a↓はベクトルaと思ってください) 点PはBDを4:5に内分しているのだから、  AP↓ = (5a↓ + 4b↓)/9 Mは辺ABの中点なのだから、  AM↓ = (1/2)・a↓ NはBCの中点なのだから、  AN↓ = (a↓ + b↓)/2 交点Qは直線AP上にあるのだから  AQ↓ = s(5a↓ + 4b↓)/9     (A) 直線MN上にあるのだから、  AQ↓ = tAM↓ + (1-t)AN↓ = t(1/2)・a↓ + (1-t)・(a↓ + b↓)/2 = (1/2)・a↓ +{(1-t)/2}・b↓     (B) (A)と(B)式より  (「a↓、b↓は平行ではないので、一次独立から」というオマジナイを唱える)  (5/9)・s = 1/2  (4/9)・s = (1-t)/2 これを解くと、  s = 9/10  t = 4/5 ですかね~。  MQ↓ = AQ↓ - AM↓ = (4/5)AM↓+(1-4/5)・AN↓ - AM↓ = (1/5)・(AN↓- AM↓) = (1/5)・MN↓ おろ、おろ・・・ □は1/5になっちまった。 問題は、 1/□になっていませんか? (2) (A)式に s = 9/10を入れると、  AQ↓ = (1/2)・a↓ + (2/5)・b↓ (AQ↓,AQ↓)と内積をとるだけ、 a↓の長さ2、b↓の長さが1、そのベクトルのなす角度が∠DAB=(π/3)ってんだから後はできるでしょう。 余弦定理を使っても、答えはでるわね~。 (1/2)・a↓というのだから、この辺の長さは2/2 = 1 (2/5)・b↓というのだから、この辺の長さは(2/5)・1 = 2/5 この両辺の挟む角度が(π/3)だから、余弦定理でも計算ができる。 でも、  ベクトル(AQ)の大きさ=ルート(□) の□は2ケタってのは絶対におかしい。 両辺の長さ1と長さ2/5、その挟む角がΘ = (π/3)ってんだから、  √□/5 となっているはずだ、絶対!!  AQ^2 = 1^2 - 2・1・2/5・cos(π/3) + (2/5)^2 = 29/25 - 2/5 = (29-10)/25 = 19/25  AQ = √(19)/5 □は19 になるに違いない。 自慢じゃないけれど、 俺は平気で計算間違いをするので、(ハッキリいって、わたしの計算能力は小学生以下) この値を信じちゃ~、絶対に地獄を見る。 しかも、俺は計算が苦手なのに、 図も書かなければ、暗算もしている。 ───俺の暗算は、自慢じゃないけれど、ちょ~危険!!─── なので、 こういうふうに考えると、解けるのだということを参考にして、 自分でちゃんと解いてください。

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