ベクトルの演習問題について

質問

次の問題がわかりません。
ご教授ください。

平行四辺形ABCDの内部の点Pが対角線BDを
４：５に内分している。
このとき、辺ABの中点をM，辺BCの中点をN，直線APと直線MNの交点をQとし，
AB=２，AD=１，∠DAB=(π/3)のとき，

　　　(1)　ベクトル(MQ)=□ベクトル(MN)　
　　　(2)　ベクトル(AQ)の大きさ=ルート（□）

である。(1)の□は一ケタの整数、(2)の□は２ケタの整数です。
ベクトルの問題で式がうまく表記できなくて申し訳ないです。。

宜しくお願いします。

回答No.2

NemurinekoNya · ベストアンサー

わりい、わりい、
NO１は間違っているわ（ポリポリ）。
暑いんでさぁ～、頭がボーッとしてるんだわ。

何かおかしいなと思って、珍しく紙と鉛筆をつかって、（１）だけ計算してみました。
（１）
点PはBDを４：５に内分しているのだから、
　AP↓ = (5a↓ + 4b↓)/9
Mは辺ABの中点なのだから、
　AM↓ = (1/2)・a↓
NはBCの中点なのだから、
　AN↓ = a↓ + (1/2)/b↓
交点Qは直線AP上にあるのだから
　AQ↓ = s(5a↓ + 4b↓)/9　　　　　（A）
直線MN上にあるのだから、
　AQ↓ = AM↓ +t(NM↓) = AM↓ t(AN↓-AM↓)
　　　 = (1/2)・a↓ + (t/2)・(a↓+b↓)　　　　（B）
で、（A）と（B）から　　　（一次独立のおまじないは忘れないように！！）
　(5/9)・s = (t+1)/2
　(4/9)・s = t/2
となって、
これを解く
　s = 9/2
　t = 4
で、
　MQ = 4MN　　　　　　　（∵ MQ↓ = AQ↓- AM↓ = t(NM↓）だから）
となるのよ。
□は「４」

（２）
AQ↓ = (5/2)・a↓ + 2b↓
になるので、
上の式から内積AQ↓・AQ↓を使って計算する。
すると、
AQ↓・AQ↓ = (5/2)^2・|a↓|^2 + 2・(5/2)・2・|a↓||b↓|cos(π/3) + 2^2・｜b↓|^2
　= (5/2)^2・2^2 + 10・2・1・1/2 + 4・1^2
　= 25 + 10 + 4
　= 39
ですか。
よって
AQ = √39

NO１の回答は、なかったことにしてください（ポリポリ）。
で、内積の計算は、自分で確かめてください。
俺の計算は、あやしいんで。

お礼

しばらくネットが見れない環境におり遅くなりました。
大変申し訳ありませんでした。

暑い中とても詳しく回答を示して頂き
本当にありがとうございました。
計算ミスは大丈夫です。私もよくしますよ。。笑
２つの方向性を示して頂き大変勉強になりました。
本当にありがとうございました。

また宜しくお願いします。

回答No.3

NemurinekoNya

やっぱ、暑くてダメだ。
NO２にもおかしなところがある。

【間違い】
　AQ↓ = AM↓ +t(NM↓) = AM↓ t(AN↓-AM↓)
　　　 = (1/2)・a↓ + (t/2)・(a↓+b↓)　　　　（B）

【正しい】
　AQ↓ = AM↓ +t(NM↓) = AM↓ + t(AN↓-AM↓)
　　　 = (1/2)・a↓ + (t/2)・(a↓+b↓)　　　　（B）

「＋」が抜けているので、ヨロシク。

お礼

丁寧にご訂正頂きありがとうございました。
助かりました～

回答No.1

NemurinekoNya

わたしは、計算が苦手なので、計算が入る問題はあまり解きたくないのですけれども・・・

（１）
AB↓ = a↓
AD↓ = b↓　　　　　　（記号↓はベクトルの意味。a↓はベクトルaと思ってください）

点PはBDを４：５に内分しているのだから、
　AP↓ = (5a↓ + 4b↓)/9
Mは辺ABの中点なのだから、
　AM↓ = (1/2)・a↓
NはBCの中点なのだから、
　AN↓ = (a↓ + b↓)/2
交点Qは直線AP上にあるのだから
　AQ↓ = s(5a↓ + 4b↓)/9　　　　　（A）
直線MN上にあるのだから、
　AQ↓ = tAM↓ + (1-t)AN↓ = t(1/2)・a↓ + (1-t)・（a↓ + b↓)/2
= (1/2)・a↓ +{(1-t)/2}・b↓　　　　　（B）
（A）と（B）式より　　（「a↓、b↓は平行ではないので、一次独立から」というオマジナイを唱える）
　(5/9)・s = 1/2
　（4/9)・s = (1-t)/2
これを解くと、
　s = 9/10
　t = 4/5
ですかね～。
　MQ↓ = AQ↓ - AM↓ = (4/5)AM↓+(1-4/5)・AN↓ - AM↓ = (1/5)・（AN↓- AM↓)
= (1/5)・MN↓

おろ、おろ・・・
□は1/5になっちまった。
問題は、 1/□になっていませんか？

（２）
（A）式に s = 9/10を入れると、
　AQ↓ = (1/2)・a↓ + (2/5)・b↓
（AQ↓,AQ↓)と内積をとるだけ、
a↓の長さ２、b↓の長さが１、そのベクトルのなす角度が∠DAB=(π/3)ってんだから後はできるでしょう。
余弦定理を使っても、答えはでるわね～。
(1/2)・a↓というのだから、この辺の長さは2/2 = 1
(2/5)・b↓というのだから、この辺の長さは(2/5)・1 = 2/5
この両辺の挟む角度が(π/3)だから、余弦定理でも計算ができる。

でも、
　ベクトル(AQ)の大きさ=ルート（□）
の□は２ケタってのは絶対におかしい。

両辺の長さ１と長さ2/5、その挟む角がΘ = (π/3)ってんだから、
　√□/5
となっているはずだ、絶対！！
　AQ^2 = 1^2 - 2・1・2/5・cos(π/3) + (2/5)^2 = 29/25 - 2/5 = (29-10)/25 =
19/25
　AQ = √(19)/5
□は１９
になるに違いない。

自慢じゃないけれど、
俺は平気で計算間違いをするので、（ハッキリいって、わたしの計算能力は小学生以下）
この値を信じちゃ～、絶対に地獄を見る。
しかも、俺は計算が苦手なのに、
図も書かなければ、暗算もしている。
───俺の暗算は、自慢じゃないけれど、ちょ～危険！！───
なので、
こういうふうに考えると、解けるのだということを参考にして、
自分でちゃんと解いてください。