ベクトル

質問

平行四辺形ABCDで、辺BCの中点をL、線分DLを2:3に内分する点をM、AMの延長線と辺CDの交点をNとしたときの、AN:AMとDN:CDはどうやって求めたらいいのでしょうか。教えて下さい。お願いします。

回答No.3

noname#11726 · ベストアンサー

題がベクトルなのでベクトルで解いてみました。　
ベクトルADをa,ベクトルABをbとします。すると、
ベクトルAM＝2/5a+4/5b　と表せます。
次に、ベクトルANはベクトルAMを実数倍したものなので　ベクトルAN＝KベクトルAM　（Kは実数）ー(1)
とおけます。先ほど求めたベクトルAMを(1)に代入して
ベクトルAN＝2/5Ka+4/5Kb－(2)
一方、点Nは線分DC上にあるので、ベクトルANをベクトルAD,ACで表すとき両ベクトルAD,ACにかかる係数の和は必ず１になります。この性質を利用して、
ベクトルAN＝ｔベクトルAD＋(１－ｔ)ベクトルAC　（ｔは実数）となりこの式もa,bで表して、
　　　　　＝(1-t)a+b －(3)　あとは(2)と(3)の係数比較をしてK,ｔの値を出し、K,ｔが元々何を意味する文字かを考えれば比は求まると思います。
図形のなかのどのベクトルが必要かを考え、ベクトルの性質をうまく利用して、１つのベクトルを２通りで表すことがポイントですかね。

お礼

詳しい回答ありがとうございます。
わかりました。(*^▽^*)

回答No.2

pyon1956

AB=→b、AD=→dとおくと、(以下矢印略)
AL=b+(1/2)d
DL=AL-AD=b -(1/2)d
DM=(2/5)=(2/5)b-(1/5)d
AM=AD+DM=(2/5)b+(4/5)d
一方
AN=kAMとおくとAN=nb+d,
ここでbとdは一次独立だからk=(5/4)
よってAN:AM=5:4
またこのときn=(1/2)よりDN:DC=1:2

お礼

ご回答ありがとうございます。
わかりました(^ ^)

回答No.1

char2nd

△ＡＬＭと△ＮＤＭは相似の関係にあります。

・角ＡＬＭ＝角ＮＤＭ（錯角の関係）
・角ＬＡＭ＝角ＤＮＭ（同上）
・角ＡＭＬ＝角ＮＭＤ

　ＬＭ：ＤＭ＝３：２ですから、ＡＭ：ＭＮも３：２です。ここから、ＡＮ：ＡＭは求められます。
　又、ＡＬ：ＮＤ＝３：２でもあります。ここで、

　ＡＬ＝1/2ＡＢ＝1/2ＣＤ

ですから、

　ＤＮ：ＣＤ＝ＤＮ：２×ＡＬ

補足

答えて下さってありがとうございます。
でも答えを見るとAN：AM＝5:4　DN:CD＝1:2なんです。
どうしたらいいんでしょうか。(>o<)