ベクトル

質問

中心O、半径1の円周上に相異なる4つの点A,B,C,Dを
∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝θ (0＜θ＜π/2)となるようにとる。
V(OB),V(OC)をそれぞれV(b),V(c)とするとき
(1)V(OD)をV(b),V(c),θを用いて表せ。
(2)線分ACと線分BDの交点をPとするとき、V(OP)をV(b),V(c),θを用いて表せ。

という問題なのですが、

(1)私では
V(OD)＝-V(OB)+tV(OC)という風にしか表せそうにないのですが、
回答の形はθも使うのでどう表せばよいか全く分かりません。

∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝θ なので、
弧AB＝弧BC＝弧CD,弦AB＝弧BC＝弧CD
円の半径から、OA＝OB＝OC＝OD
であり、△OAB、OBC,OCDは二等辺三角形という事しか読み取れませんでした。

回答No.2

killer_7 · ベストアンサー

表記の簡単のため，ベクトルOA, OB, OC, OD, OPを
それぞれa, b, c, d, pと書きます．

(1)
bの係数が-1だということが分かったのなら，あと少しです．
d = -b + tc
の両辺とcとの内積をとる．条件から
|a| = |b| = |c| = |d| = 1,
a・b = b・c = c・d = cosθ
だから，
cosθ = -cosθ + t
t = 2cosθ .

図を描けば簡単で，Oに関してBと対称な円周上の点をB'とすると，
三角形OB'Dは，角OB'D=ODB'=θの二等辺三角形であり，B'DとOCは平行．ゆえにbの係数は-1．
また，OからB'Dに下ろした垂線の足をQとすると，DQ=B'Q=cosθ．
したがってB'D=2cosθで，d = -b + 2cosθ c．

(2)
(1)と同様にして，a = -c + 2cosθ b．
PはAC上にあり，かつBD上にあるから，実数k, lを用いて
p = ka + (1-k)c
p = lb + (1-l)d
と表せる．
これにd = -b + 2cosθ c，a = -c + 2cosθ bを代入して，係数を比較してk, lを求める．

機械的にやるなら上のような感じでしょう．
ただし，これも図と対称性から簡単に解くことができます．
対称性からPは角BOCの2等分線上にあるから，ある実数mがあって
p = m(b+c)
となる．いまOCとBDは垂直（OCを二等辺三角形OBDの角Oの2等分線と見ればよい）だから，OCとDPも垂直で
c・↑DP = 0
c・(p-d)=0
である．
c・p = m(b・c+|c|^2)=m(cosθ+1)
c・d = cosθ
であるから，m=cosθ/(1+cosθ)を得て終了．

お礼

詳しい解説ありがとうございました。
図形の性質を利用して解く問題が苦手だったので、2通りの解法を示していただき、大変助かりました。
ありがとうございました。

回答No.1

natarixi

答えは

(→OD)=(→c)cosθ-(→b)cos(π-2θ)
じゃないでしょうか。

cosを整理すると
(→OD)=(→c)cosθ-(→b)2sin^2(θ)です。

お礼

回答ありがとうございました。
参考にさせていただきます。