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ベクトル内積の問題

ベクトルの(恐らく内積を使う問題)が解けなくて困っています。 以下がその問題です。 問  四角形OAPBにおいて、∠OAP=∠OBP=90°、OA=2、OB=3、OA↑・OB↑=2とする。 (1)OP↑をOA↑、OB↑を用いて表せ。 (2)線分OPの長さを求めよ。 (1)は AO↑・AP↑=0 ⇒ -OA↑・(-OA↑+OP↑)=0 ⇒ |OA↑|^2-OA↑・OP↑=0 このとき同様に BO↑・BP↑=0 ⇒ -OB↑・(-OB↑+OP↑)=0 ⇒ |OB↑|^2-0B↑・OP↑=0 故に 4-OA↑・OP↑=9-OB↑・OP↑ ⇒-5=OP↑・(OA↑-OB↑) というところまで計算して両辺を(OA↑-OB↑)で割ろうとしたのですが、内積は割り算できるのか疑問に思いました。そもそもこの解法であっているのかもわかりません。 どなたかこの問題の解説と内積の割り算は可能かどうかを教えてください! 最後まで読んでいただきありがとうございます。 見づらい文章ですいません。

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  • 回答No.3
  • sanori
  • ベストアンサー率48% (5664/11798)

再びお邪魔します。 OP→ = sOA→ + tOB→ と置いて、sとtを求めることを目標とし、 与えられた種々の内積や長さを代入していけば、 あとは、単なる連立方程式になります。 ベクトルを下記のように置く。 O→ = (0,0) OA→ = (ax,ay) OB→ = (bx,by) = (bx,by) OP→ = (px,py) = sOA→ + tOB→ = (sax+tbx,say+tby) ∠OAP=90°により ax(px-ax) + ay(py-ay) = 0 ・・・(あ) ∠OBP=90°により bx(px-bx) + by(py-by) = 0 ・・・(い) OA=2 により、 ax^2 + ay^2 = 4 ・・・(う) OB=3 により、 bx^2 + by^2 = 9 ・・・(え) OA→・OB→=2 により axbx + ayby = 2 ・・・(お) 以上で、情報は完備です。 (あ)より、 axpx - ax^2 + aypy - ay^2 = 0 これに(う)を足すと、 axpx + aypy = 4 ちなみに、これは、OA→・OP→ = 4 を表しています。 ax(sax+tbx) + ay(say+tby) = 4 sax^2 + taxbx + say^2 + tayby = 4 s(ax^2 + ay^2) + taxbx + tayby = 4 s|OA→|^2 + tOA・OB→ = 4 4s + 2t = 4 2s + t = 2  ・・・(あ’) (い)より、 bxpx - bx^2 + bypy - by^2 = 0 これに(え)を足すと、 bxpx + bypy = 9 ちなみに、これは、OB→・OP→ = 9 を表しています。 bx(sax+tbx) + by(say+tby) = 9 saxbx + tbx^2 + sayby + tby^2 = 9 s(axbx + ayby) + t(bx^2 + by^2) = 9 sOA→・OB→ + t|OB→|^2 = 9 2s + 3t = 9  ・・・(い’) (い’)-(あ’)より 2t = 7 t = 2/7 これを(あ’)に代入して、 2s + 2/7 = 2 s + 1/7 = 1 s = 6/7 よって、 OP → = sOA→ + tOB→ = 6/7・OA→ + 2/7・OB→

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質問者からのお礼

詳しい解答をありがとうございます! 僕のほうで答えをもっていなかったので助かります。

その他の回答 (3)

  • 回答No.4
  • htms42
  • ベストアンサー率47% (1120/2361)

OP↑=OA↑+AP↑    =OB↑+BP↑ これより OP↑・OA↑=OA↑・OA↑=4 OP↑・OB↑=OB↑・OB↑=9 OP↑=aOA↑+bOB↑ と置きます。 OP↑・OA↑=aOA↑・OA↑+bOB↑・OA↑        =4a+2b=4 OP↑・OB↑=aOA↑・OB↑+bOB↑OB↑        =2a+9b=9 これでa,bが決まります。       

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質問者からのお礼

参考にさせてもらいました! ありがとうございます。

  • 回答No.2

あるベクトルa↑に対して a↑・b↑=x となるb↑を決定することはできません。 あるb1↑が上記の式を満たすとすると、a↑に直行するベクトルをc↑とすると b↑=b1↑+tc↑ (tは任意の実数) は全て上の条件を満たすようになります。 今回の問題は、 OP↑=xOA↑+yOB↑ とおき、AP↑・OA↑=0,BP↑・OB↑=0に代入して式を導けば解けるはずです。

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質問者からのお礼

いつもありがとうございます!

  • 回答No.1
  • sanori
  • ベストアンサー率48% (5664/11798)

こんばんは。 ベクトル同士の割り算というものは、ありません。 内積はスカラー(ベクトルではなくて数)ですが。 とりあえず。

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質問者からのお礼

早い回答ありがとうございます。 ですよね(汗 おかげでもやもやがすっきりしました^^

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