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高2 数学 ベクトル 内積a↑・b↑ 求め方

△OABがある。辺OA,OBの中点をそれぞれM,Nとし,辺ABを1:2に内分する点をCとする。 また,線分BMと線分CNの交点をPとし,OA↑=a↑,OB↑=b↑する。 直線OPと辺ABの交点をQとするとき,OQ↑をa↑、b↑を用いて表せ。また,|a|=3、|b|=2、|NQ↑|=4分の5(4/5)であるとき、 内積a↑・b↑値を求めよ。 計算したところ、 OQ↑=3/1a↑+3/2b↑になりました 合ってるか不安です(><) 内積a↑・b↑値はわかりません 教えてください、、 図とか汚いんですけど、、 写真に(1)~(3)の問題のせてます。今回(3)がわかりません お願いします┏●

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  • 回答No.1

MはOAの中点だから ↑OM=(1/2)↑OA ↓↑OA=↑aだから ↑OM=(1/2)↑a…(1) NはOBの中点だから ↑ON=(1/2)↑OB ↓↑OB=↑bだから ↑ON=(1/2)↑b…(2) CはABを1:2に内分する点だから ↑OC=(2/3)↑OA+(1/3)↑OB ↓↑OA=↑a,↑OB=↑bだから ↑OC=(2/3)↑a+(1/3)↑b…(3) PはBM上の点だから ↑OP=(1-x)↑OB+x↑OM となる実数xがある ↓これに(1)を代入すると ↑OP=(1-x)↑OB+(x/2)↑a ↓↑OB=↑bだから ↑OP=(1-x)↑b+(x/2)↑a ↑OP=(x/2)↑a+(1-x)↑b…(4) PはCN上の点だから ↑OP=y↑OC+(1-y)↑ON となる実数yがある ↓これに(3),(2)を代入すると ↑OP=y{(2/3)↑a+(1/3)↑b}+{(1-y)/2}↑b ↑OP=(2y/3)↑a+{y/3+(1-y)/2}↑b ↑OP=(2y/3)↑a+{(3-y)/6}↑b ↓これと(4)から (x/2)↑a+(1-x)↑b=(2y/3)↑a+{(3-y)/6}↑b ↑a,↑bは線形独立だから ↑aの係数が等しいから x/2=2y/3 ↓両辺に6をかけると 3x=4y…(5) ↑bの係数が等しいから 1-x=(3-y)/6 ↓両辺に6をかけると 6(1-x)=3-y 6-6x=3-y ↓両辺にy+6x-6を加えると y=6x-3 ↓これを(5)に代入すると 3x=4(6x-3) 3x=24x-12 ↓両辺に12-3xを加えると 12=21x ↓両辺を21で割ると 4/7=x ↓これを(4)に代入すると ↑OP=(2/7)↑a+(3/7)↑b…(6) QはOP上の点だから ↑OQ=s↑OP となる実数sがある ↓これに(6)を代入すると ↑OQ=(2s/7)↑a+(3s/7)↑b…(7) QはAB上の点だから ↑OQ=(1-t)↑OA+t↑OB となる実数tがある ↓↑OA=↑a,↑OB=↑bだから ↑OQ=(1-t)↑a+t↑b ↓これと(7)から (2s/7)↑a+(3s/7)↑b=(1-t)↑a+t↑b ↑a,↑bは線形独立だから ↑aの係数が等しいから 1-t=2s/7 ↓両辺に7をかけると 7-7t=2s…(8) ↑bの係数が等しいから t=3s/7 ↓両辺に7をかけると 7t=3s ↓これを(8)に代入すると 7-3s=2s ↓両辺に3sを加えると 7=5s ↓両辺に5をかけると 7/5=s ↓これを(7)に代入すると ∴ ↑OQ=(2/5)↑a+(3/5)↑b…(9) ↑NQ=↑OQ-↑ON ↓これに(9),(2)を代入すると ↑NQ=(2/5)↑a+(3/5)↑b-(1/2)↑b ↑NQ=(2/5)↑a+(1/10)↑b ↓両辺の絶対値の2乗をとると |NQ|^2=|(2/5)↑a+(1/10)↑b|^2 |NQ|^2=(4/25)|a|^2+(2/25)(↑a,↑b)+(1/100)|b|^2 ↓|NQ|=5/4,|a|=3,|b|=2だから 25/16=(36/25)+(2/25)(↑a,↑b)+(1/25) 25/16=(37/25)+(2/25)(↑a,↑b) ↓両辺から37/25を引くと 25/16-37/25=(2/25)(↑a,↑b) 33/400=(2/25)(↑a,↑b) ↓両辺に25/2をかけると 33/32=(↑a,↑b) ∴ (↑a,↑b)=33/32

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