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数学II ベクトルの内積問題について

高一です。以下の問題が分からず困っています。 (ちなみに→aというのはaベクトル、|a|は絶対値aのつもりです。 記号が分からなかったので適当におかせていただきました) 問一 ΔABCは,AB=√34,BC=4であり,ベクトルの内積に関して    →AB×→BC = 3→BC×→CA が成り立つとする.    線分BCを3:1に内分する点をHとし,→HA=→a,→HB=→bとおく.    (1) →aと→bが直角に交わることを示せ.    (2) |→a|,|→b|を求めよ.    (3) 内積→CA×→ABの値を求めよ. 問二 平面上にΔOABがあり,OA=5,OB=6,AB=7を満たしている.    s,tを実数とし,点Pを→OP=s→OA+t→OBによって定める.    (1) s,tが s,t≧0, 1≦s+t≦2 を満たすとき,      点Pが存在し得る範囲分の面積を求めよ.    (2) s,tが s,t≧0, 1≦2s+t≦2, s+3t≦3 を満たすとき,      点Pが存在し得る範囲分の面積を求めよ. 問三 ΔOABの辺AB,OBの長さをそれぞれ a,b とする. 辺OA上に OE:EA=1:4 となるように点Eをとる.    線分OCと線分BE,ADとの交点をそれぞれP,Qとし, 線分ADと線分BEの交点をRとする.    →a=→OA,→b=→OBとする.    (1) →PQを→a,→bで表せ    (2) →PRを→a,→bで表せ    (3) |→a|=√5,|→b|=1, →a×→b = 1のとき,ΔPQRの面積を求めよ さっぱりです。明日試験があるというのに… 教えていただけると幸いです。

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  • 回答No.3

 問2。  (1)は、#1さんが良く解説しておられます。  △OABの面積をSとしますと、求める面積は 3S になります。  なお、△OABの面積は、3辺の長さが分かっていますので、ヘロンの公式を使います。   S=√{s(s-a)(s-b)(x-c)}  ただし、s=(a+b+c)/2  (2)は、半直線OA上に、OA’=2OAとなるような点A’をとり、同様に、半直線OB上に、OB’’=3OBとなるような点B’’をとってください。  このとき、求める図形は、△A’ABと△B’’ABの重なった部分です。  辺ABの長さは分かっていますので、あとは重なってできた三角形の高さが分かれば求められます。   1≦2s+t≦2  ・・・(あ)   s+3t≦3   ・・・・(い)  (あ)×2+(い) を作りますと、   5(s+t)≦7  ∴s+t≦7/5 と求められますので、重なってできた三角形の高さは   7/5-1=2/5 と分かります。  このことから、求める図形の面積は、   2S/5 と導かれます。

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その他の回答 (3)

  • 回答No.4

 #2/#3です。  もう用は済んだでしょうが、#3に誤りがありましたので、下記の通り訂正させてください。 > (2)は、半直線OA上に、OA’=2OAとなるような点A’をとり、同様に、半直線OB上に、OB’’=3OBとなるような点B’’をとってください。 > このとき、求める図形は、△A’ABと△B’’ABの重なった部分です。 (正)  (2)は、半直線OA上に、OA’’=3OAとなるような点A’’をとり、同様に、半直線OB上に、OB’=2OBとなるような点B’をとってください。  このとき、線分AB’と線分A’’Bとの交点を点Cとして下さい。  また、半直線OA上に、OA’’’=OA/2となるような点A’’’をとってください。  ここで、求める図形は、四角形A’’’ACB になります。   四角形A’’’ACB=△A’’’AB+△CAB  △CABは、#3で求めたように、2S/5 です。  また、△A’’’ABは、S/2 です。  従って、求める図形の面積は、   2S/5+S/2= 9S/10 となります。

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  • 回答No.2

 先ず、問1のみ。  準備として、→AB、→BC、→CAを→aと→bだけで表しましょう。  そうすると、次のようになるはずです。   →AB=→b-→a   →BC=-4/3 →b   →CA=→BA-→BC=→a+→b/3  (1) →AB、→BC、→CAを内積の条件式に代入していくと、次の式が導かれると思います。   →a・→b=0  ∴→a ⊥ →b  (2)は、(1)の結果から、AH⊥BCですので、△ABHで三平方の定理を使えば、AHの長さが分かりますので、|→a|が求められます。  |→b|は点Hが辺BCを3:1に内分していることからBHの長さが分かり、求められます。  (3)は、準備で表した→CAと→ABを代入していくだけです。   |→a|=5、|→b|=3、→a・→b=0 と求められているので、計算できると思います。

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  • 回答No.1

■問1 関係する全てのベクトルをABとBCで表す(ABとAC等でも構わない)。 CA = -AC = -(AB+BC) = -AB-BC BH = 3/4 BC HA = -AH = -(AB+BH) = -AB-(3/4)BC 条件 AB・BC = 3BC・CA に代入したり、HA・HB に代入したりすれば良い。 ■問2(1) s+t=1 なら線分AB上を動く。 s+t=2 なら線分A'B'上を動く (OA'=2OA,OB'=2OB)。 したがって、点Pが存在しうる範囲は、△OA'B'の範囲から△OABの範囲を除いた部分。 ■問3 点Cと点Dの定義は? ■余談 ベクトルで「×」を使うと、外積の意味になるので注意してください。

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