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高校ベクトルの問題

OA=4,OB=3,AB=6である三角形OABがあり、その重心をGとする (1)ベクトルOAとベクトルOBの内積をもとめよ (2)線分OGの長さを求めよ (3)点Gを通り、直線OGに垂直な直線と直線OA,OBの交点をそれぞれD,Eとする (i)ベクトルOD=sベクトルOA、OE=tベクトルOBとなる実数s、tの値を求めよ (ii)DG:GEを求めよ。 わかりやすくお願いします。

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  • 回答No.2
noname#231363
noname#231363

考える訓練のための、ベクトルの成分による別解(力技?)です。 なお、ベクトルOAを→OAと表します。(他も同様) (1) 三角形OABにおいて、余弦定理から、 AB^2=OA^2+OB^2-2×OA×OB×cos(∠AOB) であるから、 OA×OB×cos(∠OAB) =(OA^2+OB^2-AB^2)/2 =(4^2+3^2-6^2)/2 =-11/2 よって、→OA・→OB= OA×OB×cos(∠AOB)=-11/2 (2) (1)から、cos(∠AOB)= -11/(2×4×3)=-11/24 xy平面上において、三角形OABの頂点Oを原点(0,0)、頂点Aを(4,0)、頂点Bを(x1,y1)とすると、 x1=3×cos(∠AOB)=-11/8、y1>0とし、三平方の定理から、x1^2+y1^2=3^2=9 三角形OABにおいて、辺ABの中点をMとすると、 →OM=→OA+→AB/2=→OA+(→OB-→OA)/2=(→OA+→OB)/2 →OG=2→OM/3=(→OA+→OB)/3 →OA+→OB=(4,0)+(x1,y1)=(x1+4,y1) |→OG|^2 ={(x1+4)^2+y1^2}/3^2 =(x1^2+8x1+4^2+y1^2)/3^2 =(9-11+16)/3^2 =14/3^2 よって、OG=√14/3 (3) 点Gの座標は((x1+4)/3,y1/3) →OG=((x1+4)/3,y1/3)であるから、これに垂直なベクトルを(-y, x1+4)と考えることができます。 (i) →OD =→OG+m(-y1, x1+4) =((x1+4)/3,y1/3)+m(-y1, x1+4) =s(4,0)(mとsは実数) と表し、y成分に着目すると、 y1/3+m(x1+4)=0 m=-y1/3(x1+4) (x1+4=21/8>0)-(ア) また、x成分に着目すると、 (x1+4)/3-my1=4s これに式(ア)を代入すると、 (x1+4)/3+y1^2/3(x1+4)=4s s={(x1+4)^2+y1^2}/12(x1+4)=14/(12×21/8)=4/9 →OE =→OD+n(-y1, x1+4) =(4/9)(4,0)+n(-y1, x1+4) =t(x1,y1)(nとtも実数) と表し、y成分に着目すると、 n(x1+4)=ty1 n=ty1/(x1+4)-(イ) また、x成分に着目すると、 16/9-ny1=tx1 これに式(イ)を代入すると、 16/9-ty1^2/(x1+4)= tx1 {x1+y1^2/(x1+4)}t=16/9 {x1(x1+4)+y1^2}t/(x1+4)=16/9 (x1^2+4x1+y1^2)t/(21/8)=16/9 (9-11/2)t/(21/8)=16/9 (7/2)t/(21/8)=16/9 t=16/9×2/7×21/8=4/3 これを式(イ)に代入すると、 n=4y1/3(x1+4) (ii) (i)において、x1+4=21/8>0、y1>0であるから、m<0、n>0 |m|=-m= y1/3(x1+4) DG:GE=|m|:(n- |m|)= y1/3(x1+4) :y1/(x1+4)=1:3 ※ ベクトル式の変形(計算)に習熟していれば、ANo.1のご回答のように考える方が簡単ですが、ベクトルの成分で考えるのも一つの手です。 この解法は、面倒だとは思いますが、y1の値は求めないで済みます。 (x1^2+y1^2=9の関係を利用) また、(3)の(i)の答えと(ii)の答えを、並行して求められます。 なお、(3)の(i)において、 →OE =→OG+n(-y1, x1+4) =((x1+4)/3,y1/3) +n(-y1, x1+4) =t(x1,y1)(nとtも実数) と表しても、nとtの値は求められますが、y成分が0となるベクトルがないので、nとtについての連立方程式を解くのが複雑になります。

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  • 回答No.1

(1) AB=6 より | AB↑ |^2 = 36 | OB↑ - OA↑ |^2 = 36 | OB↑ |^2 - 2 OA↑・OB↑ + | OA↑ |^2 = 36 9 - 2 OA↑・OB↑ + 16 = 36 OA↑・OB↑ = -11/2 …(答) (2) OG↑ = (1/3) (OA↑ + OB↑) より 9 | OG↑ |^2 = | OA↑ + OB↑ |^2 = | OA↑ |^2 + 2 OA↑・OB↑ + | OB↑ |^2 = 16 - 11 + 9 = 14 | OG↑ |^2 = 14/9 より OG = √14 / 3 …(答) (3) (i) OG ⊥ DG より OG↑ ・ DG↑ = 0 OG↑ ・ (OG↑ - OD↑) = 0 | OG↑ |^2 - OG↑・OD↑ = 0 ここで | OG↑ |^2 = 14/9 OG↑・OD↑ = (1/3) ( OA↑ + OB↑ ) ・s OA↑ = (s/3) ( | OA↑ |^2 + OA↑・OB↑ ) = (s/3) (16 - 11/2) = (7/2)s よって 14/9 - (7/2)s = 0 より s = 4/9 …(答) OG ⊥ EG より OG↑ ・ EG↑ = 0 OG↑ ・ (OG↑ - OE↑) = 0 | OG↑ |^2 - OG↑・OE↑ = 0 ここで | OG↑ |^2 = 14/9 OG↑・OE↑ = (1/3) ( OA↑ + OB↑ ) ・t OB↑ = (t/3) ( OA↑・OB↑ + | OB↑ |^2 ) = (t/3) (-11/2 + 9) = (7/6)t よって 14/9 - (7/6)t = 0 より t = 4/3 …(答) (ii) DG↑ = OG↑ - OD↑ = (1/3) ( OA↑ + OB↑ ) - (4/9) OA↑ = (-1/9) OA↑ + (1/3) OB↑ GE↑ = OE↑ - OG↑ = (4/3) OB↑ - (1/3) ( OA↑ + OB↑ ) = (-1/3) OA↑ + OB↑ よって 3 DG↑ = GE↑ より DG : GE = 1 : 3 …(答) でしょうか。

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質問者からのお礼

ありがとうございました。OG⊥DEから、s、tの式を作り、もう一つのs,tの式を見つけられずに困ってました。頭堅いですね。

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