中学校幾何の証明

質問

あるサイトに、「対角線ＡＣとＢＤの交点をＯとし、辺ＡＢ上の任意の点Ｐと点Ｄを結び、対角線ＡＣとの交点をＱとおく。線分ＢＱと線分ＰＯの交点をＲとし、直線ＡＲと辺ＢＣの交点をＭとおく。このとき、点Ｍは、辺ＢＣの中点である。」とあり、
「チェバの定理により、
ＡＰ／ＰＢ×ＢＳ／ＳＯ×ＯＱ／ＱＡ＝１（ＳはＢＯとＡＭの交点）
メネラウスの定理により、　
ＡＰ／ＰＢ×ＢＤ／ＤＯ×ＯＱ／ＱＡ＝１
よって、
ＢＳ／ＳＯ＝ＢＤ／ＤＯ＝２　　　　
このことから、Ｓは線分ＢＯを、２ ： １ に内分する点である。
△ＡＢＣにおいて、点Ｏは辺ＡＣの中点であるので、Ｓは△ＡＢＣの重心となる。
したがって、中線ＡＳと辺ＢＣの交点であるＭは、辺ＢＣの中点となる。」
と証明も書いてあったのですが、ＢＳ／ＳＯ＝ＢＤ／ＤＯ＝２になる理由と、Ｓが△ＡＢＣの重心となる理由が分かりません。非常に分かりにくい説明になってしまいましたが、どなたかご解答お願いします。