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四面体OABCにおいて
点P、点Q、点Rをそれぞれ辺ABの中点、線分PCの中点、線分OQの中点とする 直線ARが平面OBCと交わる点をSとし、直線OSと直線BCの交点をTとする 四面体OABCV1と四面体SABTV2の体積比を求めよ V2=2/3×4V1/7らしいのですが何故ですか?
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>頂点Aから面OBCに下ろした垂線の長さをLとすると、 V1=(1/3)*L*△OBCの面積、V2=(1/3)*L*△BTSの面積。 よってV2/V1=△BTSの面積/△OBCの面積 △ABCにメネラウスの定理を適用すると(CT/BT)*(AB/AP)*(PQ/CQ)=1 だから、(CT/BT)=(AP/AB)*(CQ/PQ)=(1/2)*(1/1)=1/2 同じく△ABCにメネラウスの定理を適用すると(AP/BP)*(BC/CT)*(TQ/AQ)=1 だから(TQ/AQ)=(BP/AP)*(CT/BC)=(1/1)*(1/3)=1/3 △OATにメネラウスの定理を適用すると(OS/ST)*(TA/AQ)*(QR/OR)=1 だから、(OS/ST)=(AQ/TA)*(OR/QR)=(3/4)*(1/1)=3/4 以上から△BTSと△OBCを比較すると、BT/BC=2/3、 OからBCに下ろした垂線の長さ/SからBCに下ろした垂線の長さ=OT/ST =(OS+ST)/ST=(1+OS/ST)=1+3/4=7/4 よって、△BTSの底辺の長さBTは△OBCの底辺の長さBCの2/3で、 △BTSの高さは△OBCの高さの4/7なので、両三角形の面積の比は (2/3)*(4/7)=8/21となり、すなわちV1/V2=8/21、V1=(8/21)V2となる。
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- j-mayol
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>次に△OQTを描きOR:RQとAQ:QTを用いて同じくメネラウスの定理を利用しOS:STを求める。 △OQTではいかんよね △OATでした。 ごめんなさい。
- j-mayol
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説明がえらい面倒になるので以下の作業を自分でやってみてください。それでも駄目なら補足してください。 底面の△ABCを描きPとQとTを取る。AP:PBとPQ:QCが分かっているためメネラウスの定理でBT:TCが求められさらにAQ:QTも求められる。こうして底面の比が求まる。 次に△OQTを描きOR:RQとAQ:QTを用いて同じくメネラウスの定理を利用しOS:STを求める。 これが2つの立体の高さの比となるから、先ほどの底面の比と掛け合わせればよい。
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