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空間のベクトル、平面上の条件

「正四面体OABCにおいてOA→=a→、OB→=b→、OC→=c→とする。辺OAを4:3に内分する点をP、辺BCを5:3に内分する点をQとする。そのときPQ→を求めよ。また、線分PQの中点をRとし、直線ARが△OBCの定める平面と交わる点をSとする。そのときのAR:ASを求めよ。  また、cos∠AOQを求めよ」 という問題です。 最初のPQ→=-4/7a→+3/8b→+5/8c→と出せたんですが(あっているかは自信ありません) 次のAR:ASとcos∠AOQの求め方がわかりません。 平面上の条件(?)を使うのではないかと思ったんですが、どこでどのように使えばいいのかがよくわかりません。 回答いただけるとありがたいです。よろしくお願いします

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  • 回答No.2
  • goodo
  • ベストアンサー率44% (17/38)

PQはあっています。 その後の方法 (1)「線分PQの中点をR」より、PRを求める。 (2)(1)を利用し、ARを求める (3)ASはARの延長線上にあるので、 AS=KARとし、ASを求める。(Kは実数) (4)(3)のASの始点をOにかきかえ、OSを求める (5)ここで、点Sは面ABC上にあるので、OAベクトルの係数はゼロになることより、(3)における実数Kを求める (6)(5)において係数Kが求まることにより、問題のAR:ASが求まる cos∠AOQの求め方 (1)正四面体の一辺の長さをXとする。│OA│=│OQ│=X^2 (2)ここで、正四面体OABCは正四面体よりそれぞれの面は正三角形であるので、角度は60度。より 内積はOA・OB=OA・OC=X^2/2 (3)以上よりcos∠AOQ=1/2 実際にやってみてください。

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その他の回答 (3)

  • 回答No.4
  • goodo
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♯2です。│OQ│=X^2は間違いでした。 │OQ│は♯3様の方法、または、OQを二乗して求める方法をとってください。 混乱させてしまい申し訳ありません。

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  • 回答No.3
  • shkwta
  • ベストアンサー率52% (966/1825)

cos∠AOQは余弦定理で出ます。 三平方の定理により、AQ=OQ=(7/8)OA あとは余弦定理で cos∠AOQ=4/7 前半部分は、No.1様のメネラウスの定理でも、No.2様のベクトル計算でもOKです。 メネラウスの定理の場合は (PR/RQ)(QS/SO)(OA/AP)=1と(PQ/AP)(RA/SR)(QS/OQ)=1を組み合わせればよいと思います。

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  • 回答No.1
  • yob_yob
  • ベストアンサー率25% (15/59)

自信なしですが・・。 AR:ASはメネラウスの定理でいけそうな気がします。 cosはメネラウスと余弦定理かな? もし答えが分かっているなら教えて欲しいところです。

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