ベクトル

質問

四面体OABCにおいて、辺OAの中心をP、辺BCを2:1に内分する点をQ、辺OCを1:3に内分する点をR、辺ABをs:（1－s）に内分する点をSとする。ただし、0＜s＜1とする。
（1）PQをa、bおよびcで表せ。
（2）RSをa、b、cおよびsで表せ。
（3）線分PQと線分RSが交わるときのsの値を求めよ。

回答No.2

kiha181-tubasa

確認：OA=a, OB=b, OC=c と判断して良いのですね。では……。

初めに……ベクトルは，教科書にいろんな公式が出て来るけど，図形に関しては「追いかけっこ（和や差）」と「伸び縮み（実数倍）」で大抵片付けられます。このような徹底的な基本が操れると，難問に強くなります。
所詮簡単に答えが出せる公式は小テストや定期考査などで役立つものでそれ以上を期待しない方が……。入試では公式外しで攻めてきますからね。
この「追いかけっこ＋伸び縮み」で解いてみましょう。

例えば，内分点にしても
OQ=OB+BQ=b+(2/3)BC=OB+(2/3)(c-b)=b+(2/3)c-(2/3)b=(1/3)b+(2/3)c
これが内分点の公式では
OQ=(1b+2c)/(2+1)=(1/3)b+(2/3)c
と求めるのはご存知ですね。

この結果は（１）で使えます。
また，OP=(1/2)a ですかから，（１）の解は
PQ=OQ-OP=(1/3)b+(2/3)c-(1/2)a=-(1/2)a+(1/3)b+(2/3)c……（答）

（２）も考え方は全く同じです。
OR=(1/4)c
OS=(1-s)a+sb
RS=OS-OR=(1-s)a+sb-(1/4)c……（答）

（３）は「交わる」の解釈が難しいですね。
「線分PR上にも線分RS上にもある同一点Tが存在する」ということを使いましょうか。この点Tが交点です。
では行きます！　「追いかけっこ」と「伸び縮みと」で！！

点Tが線分PQ上にあるとすると，tを実数として(0<t<1)
OT=OP+tPQ=(1/2)a+t(-(1/2)a+(1/3)b+(2/3)c)=(1/2)(1-t)a+(1/3)tb+(2/3)tc……(1)
点Tが線分RS上にあるとすると，uを実数として(0<u<1)
OT=OR+uRS=(1/4)c+u((1-s)a+sb-(1/4)c)=u(1-s)a+usb+(1/4)(1-u)c……(2)

a,b,cはどの２つも並行でなく零ベクトルでもない（要するに一時独立）であるから，(1)と(2)より

(1/2)(1-t)=u(1-s)……(3)
(1/3)t=us　　　……(4)
(2/3)t=(1/4)(1-u)……(5)
このs, t, u を未知数とする連立方程式を解いて，s=1/7, t=1/5, u=7/15 を得ます。
従って求めるｓの値は，1/7 ……(答）

回答No.1

asuncion

添付図をごらんください。参考になるかもしれませんし、ならないかもしれません。

お礼

ありがとうございました