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三角形を内分する直線

問題：△ABCの辺AB、ACをそれぞれ1:3に内分する点を、それぞれR,Qとする。線分BQとCRの交点をOとし、直線AOと辺BCの交点をPとする。 (1)BP:PCを求めよ (2)面積比△OBC：△ABCを求めよ。 答えを見ましたが、解説もなく理解できませんでした。 解説してくださる方いましたら宜しくお願いします。

みんなの回答

  • gohtraw
  • ベストアンサー率54% (1630/2966)
回答No.1

ベクトル記号は省略します。 ＡＯをＡＢとＡＣで表わします（二通りあります）。このとき、ＯＲ：ＯＣ＝ｓ：１－ｓ、ＯＱ：ＯＢ＝ｔ：１－ｔ　とします。 ＡＯ＝ｔ・ＡＢ＋（１－ｔ）ＡＱ 　　＝ｔ・ＡＢ＋（１－ｔ）ＡＣ／４　・・・（あ） ＡＯ＝（１－ｓ）ＡＲ＋ｓ・ＡＣ 　　＝（１－ｓ）ＡＢ／４＋ｓ・ＡＣ　・・・（い） （あ）と（い）の係数を比較すると ｔ＝（１－ｓ）／４ ｓ＝（１－ｔ）／４ この連立方程式を解くとｓ＝ｔ＝１／５ よってＡＯ＝ＡＢ／５＋ＡＣ／５　・・・（う） ここでＡＰはＡＯの実数倍で表わされるので、実数ｕを用いて 　ＡＰ＝ｕ・ＡＢ／５＋ｕ・ＡＣ／５ これよりＢＰ：ＰＣ＝１　（上式でＡＢとＡｃの係数が等しいから） ＢＰ＝ＰＣであることから ＡＰ＝（ＡＢ＋ＡＣ）／２　・・・（え） （う）と（え）より、ＡＰの長さはＰＯの長さの５／３倍なので、面積比△OBC：△ABＣ＝３：５

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