数学II 辺の比について

質問

△ABCにおいて、辺BCを1:2に内分する点をP、線分APを2:1に内分する点をQとし、線分CQの延長が辺ABと交わる点をRとする。

このような問題において△ARQ:△ABCを求めるとき、条件の比をそのまま用いて良いのでしょうか。

条件よりAQ:QP=2:1、BP:PC=1:2ということが分かると思いますが、この二つの比はそれぞれ違うものですよね？
中学時代にこういうものの比を統一させる方法を習った気がしたのですが……

誤解していたら申し訳ないですが、言いたいことが伝われば是非教えてほしいです。よろしくお願いしますm(__)m

回答No.1

staratras · ベストアンサー

>条件よりAQ:QP=2:1、BP:PC=1:2ということが分かると思いますが、この二つの比はそれぞれ違うものですよね？
中学時代にこういうものの比を統一させる方法を習った気がしたのですが……

はい、ご指摘の通り、2つの比はそれぞれ、「APとQPの関係」と「BPとPCの関係」を表現しているだけで相互に関係はないものです。たとえば同じ2だからといって、AQ=PCであるわけではありません。この2つの比に共通のものが含まれていれば(例えば後者がAQ:PC=1:2であったとすれば）、これらの関係(連比）を導くこと（ご質問に言う「比を統一させる」こと？）（すなわちAQ:QP:PC=2:1:4）が可能ですが、共通のものがないのでこの問題では不可能です。

この問題の解き方の一例を下の図に示します。三角形ABCの全体の面積をＳとし、三角形ARQの面積をxとしています。三角形RBPの面積を2通りの方法で求めて（三角形ABP-三角形ARP、および三角形CRPの半分）これを等しいとし、xとＳとの関係を求めようとするものです。

お礼

大変わかりやすかったです。図まで付けてくださって申し訳ないです。不安だったところが解決できて良かったです！ありがとうございましたm(__)m