面積の比＝辺の比が使えない

質問

問題
BCPQに囲まれた部分を30.00m^2となるようにPQの直線（BCに平行とする）で分割したい。
APおよびAQの辺長を求めよ。

ヘロンの公式を用いて、⊿ABC＝90.62769113
⊿ABC＝90.62769113-30.00＝60.62769113

ここで面積比＝辺の比の法則を用いてAPとAQを求めようとしましたが、
うまくいきませんでした。
これは高さ（ｈ）が異なるからでしょうか？

どのように考えればいいのかわかりません。

よろしくお願いします。

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回答No.3

unmarko · ベストアンサー

おそらく、面積比と辺の比に関して整理する必要があると思います。

>面積比＝辺の比が使える三角形も相似形ですよね？
→違います。
それは高さが同じで底辺の長さが異なる三角形の場合ではないでしょうか。
→参照URLを見て下さい。

まず、高さが同じで相似形である三角形とはどの様な三角形か考えてみて下さい。
それは、全く同じ三角形です。

相似な三角形の比に関しては、どの様な場合でも
面積比=辺の二乗の比　となります。

例えば、下記のような場合
△A1 : 底辺 a1, 高さ h1
△A2 : 底辺 a2, 高さ h2
※△A1と△A2は相似

△A1の面積:△A2の面積=(a1 * h1)/2 : (a2 * h2)/2
となりますが、
a1:a2 = h1:h2　ですので、下記の様になります。
△A1の面積:△A2の面積 = a1^2 : a2^2 = h1^2 : h2^2

参考URL：

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math2/souji24.htm

お礼

ありがとうございます。
勘違いしてた部分がわかりました。
面積比＝辺の比が使える三角形の意味がわかりました。
ただ漠然と面積比＝辺の比が使える三角形は相似と
思ってましたが、よく見たら相似ではないですよね。
URLのページにあります証明を参考に
面積比＝辺の比の証明を自分でもやってみたら
より納得できました。

回答No.4

alice_44

使えますよ。2度使ったらいいんです。

図に、線分PCを書き足してみます。
△APQと△APCは直線ACに対する高さが共通だから、
面積比=底辺の比 で △APQ:△APC=AQ:AC です。

△APCと△ABCについて同様に、△APC:△ABC=AP:AB。

ABとPQが平行ならば
AQ:AC=AP:AB=(△APQと△ABCの相似比) だから、
(△APQと△ABCの面積比)=(相似比)の2乗 となります。

お礼

ありがとうございます。
線分PCを書き足す方法なんて全く思いもつきませんでした。
ただ漠然としてた部分が明らかになってよかったです。
参考になりました。ありがとうございました。

回答No.2

unmarko

考え方は正しいと思いますよ。
ただ、書き間違えかどうか気になる点が一点有ります。

面積比 = 辺の比　ではなく、面積比 = 辺の二乗の比です。

△ABC=X,△APQ=Y とすると
Y = X - 30
※Xは質問者様が計算されている様なので、省略します。

面積比 = 辺の二乗の比なので、
(AP)^2 : 16.5^2 = (X - 30) : X
つまり、
(AP)^2 = 16.5^2 * (1 - 30/X)

APと同様に
(AQ)^2 = 20.3^2 * (1 - 30/X)

AP,AQの実値についてはXが求まっているので、ご自分で計算して下さい。

お礼

ありがとうございます。
三角形の相似について勘違いしてたみたいです。
面積比 = 辺の比が使えるのは高さが同じで底辺の長さが
異なる三角形であり、相似ではなかったことがわかりました。

回答No.1

nag0720

相似形の場合、(辺の比)^2＝面積比　です。
つまり、
辺の比＝√(面積比)=√(60.62769113/90.62769113)=0.817909131

AP=16.50×0.817909131=13.49550067
AQ=20.30×0.817909131=16.60355537

お礼

ありがとうございます。
面積比＝辺の比が使える三角形も相似形ですよね？
何が違うのかよくわかってない部分があるのですが、
やはりこれは高さが違うから使えないのでしょうか？

(辺の比)^2＝面積比というのは相似という条件であれば
面積比＝辺の比が使える三角形や
他の相似三角形にも使うことができるのでしょうか？