面積比について

質問

図のような１辺の長さが12cmの正四面体ABCDにおいて、AP=6cm、AQ=8cm、AR=9cmとするとき、四面体APQRと正四面体ABCDの体積の比を求めよ。

解答は以下のとおりです。
△APQと△ABCの面積をそれぞれS、S'とすると、頂角Aが等しい三角形の面積比であるから
S:S'=6*8:12*12=1:3・・・ア
△APQと△ABCを四面体APQRと正四面体ABCDの底辺とし、この2つの四面体の高さをそれぞれh,h'とするとき
h:h'=RA:DA=9:12=3:4・・・イ
したがって、四面体APQRと正四面体ABCDの体積をそれぞれv,v'とすると、
v:v'=1/3Sh:1/3S'h'
ア、イより
Sh:S'h'=1*3:3*4=1:4
v:v'=1:4

以下質問です。
・解説で面積比を求めるときに6*8を計算してますが、底辺*高さ*1/2でなくてもよいのでしょうか？どうして6*8になるのでしょうか？
・△APQを△APQRの底面としたとき高さがRAとなっていますが、RQではダメなのでしょうか？なぜRAが高さになるのでしょうか？
よろしくご回答願います。

回答No.2

nattocurry · ベストアンサー

＞・解説で面積比を求めるときに6*8を計算してますが、底辺*高さ*1/2でなくてもよいのでしょうか？どうして6*8になるのでしょうか？

面積を求めるのではなく、面積比を求めるので、実際の面積を求める必要はありません。
でも、あえて、面積を求めてから面積比を求めたいのであれば、APとABを底辺とすると、

△APQにおいては、底辺＝AP、高さ＝AQ×sin60°、なので、面積S＝AP×AQ×sin60°÷2
△ABCにおいては、底辺＝AB、高さ＝AC×sin60°、なので、面積S'＝AB×AC×sin60°÷2

面積S：面積S'＝AP×AQ×sin60°÷2：AB×AC×sin60°÷2

ここで、sin60°÷2、の部分は両方同じなので、

面積S：面積S'＝AP×AQ：AB×AC

となり、6*8：12*12　という式になります。

これは、∠Aが共通である時点で、∠Aが何°であっても、sinθ÷2が共通になることが解りきっていることなので、∠Aが共通の三角形の三角比を求めるときは、∠Aを挟む辺の長さの積だけを比べれば良い、ということになります。

＞・△APQを△APQRの底面としたとき高さがRAとなっていますが、RQではダメなのでしょうか？なぜRAが高さになるのでしょうか？
よろしくご回答願います。

RQにしたければ、しても構いませんが、RQと何を比べてhとh'の比を求めようとしているのでしょうか？

この場合も、両方の四面体に共通の頂角Aを基準にするのが、ベストです。
そうすれば、底面（△APQや△ABC）に対するARやADの角度が共通になるので、その長さを比べるだけで、hとh'の比を求めることが出来ます。

回答No.1

gohtraw

△ＡＢＣと△ＡＰＱを比較するとき、
（１）△ＡＢＣと△ＡＰＣ
（２）△ＡＰＣと△ＡＰＱ
の二段階で面積を比較してみます。
（１）はＡＢ＝１２、ＡＰ＝６ですから、両者の面積比は２：１です。
（２）はＡＣ＝１２、ＡＱ＝８ですから両者の面積比は３：２です。
これらから△ＡＢＣと△ＡＰＱの面積比は３：１と判ります。
　高さのほうは、ＲＡの方が元の四面体の辺との比を出しやすいからではないでしょうか？ＲＡ：ＤＡ＝３：４なのだから、△ＡＰＱを底辺、Ｒを頂点とする四面体の高さはＤを頂点とする四面体の高さの３／４であることは容易に判ります。ＲＱを高さとした場合、どういう風に比を出しますか（不可能ではないでしょうが）？