三角形辺の比

質問

△ABCと線分PQが1つの平面上にある。点P、QからBC、CA、ABにおろした垂線の足をD、E;F、G;H、Kとし、点A、B、CからPQにおろした垂線の足をA'、B'、C'とすると、
DE:PQ=B'C':BC　つまり　BC・DE=PQ・B'C' 同様にCA・FG=PQ・C'A'　
AB・HK＝PQ・A'B'　
DE:PQ=B'C':BC以降がわかりません。三角形の相似を使ったり、BB'とCC'に平行な補助線をP、QからBCに向かって引いたりしましたがわかりません。
どなたか、DE:PQ=B'C':BC以降を教えてくださいお願いします。

回答No.2

yougamaster · ベストアンサー

相似と　平行線と線分の比を利用してみましょう！
アップした図も見ながら考えてくださいね！

ＢＣとＢ'Ｃ'の交点をＩとすると、ＰＤ平行ＥＱだから平行線と線分の比より
ＤＥ：ＰＱ＝ＩＤ：ＩＰ

共通角Ｉと直角の２つが等しいから
△ＩＤＰ相似△ＩＣ'Ｃなので
ＩＤ：ＩＰ＝ＩＣ'：ＩＣ
(図2をみれば、この比は直接的に書けると思います。図2は△ＩＤＰと△ＩＣ'Ｃを取り出して、直角が下になるように重ねたものです。三角形の相似比からとしても良いし、平行線と線分の比からとしても良いですね。）

図3のようにＩを通り、ＢＢ'に平行な直線Ｌをひきます。
また、ＢＣをＢ''Ｃ'に平行移動します。
ＬとＢ''Ｃ'の交点をＲとします。
ＢＢ'、Ｌ、Ｃ'Ｃで平行線と線分の比から
ＩＣ'：ＩＣ＝ＩＣ'：ＲＣ'＝Ｂ'Ｃ'：Ｂ''Ｃ'＝Ｂ'Ｃ'：ＢＣ
よって　DE:PQ=B'C':BC
内項の積と外項の積は等しいことを利用して
BC・DE=PQ・B'C'

次に　CA・FG=PQ・C'A'よりFG：PQ＝C'A'：ＣＡを予想します。
図のようにＡＣとＡ'Ｃ'の交点をＪとすると
前半と同様に
ＦＰ，ＰＱで平行線と線分の比から　
FG：PQ＝ＪＧ：ＪＱ
△ＪＧＱ相似△ＪＣ'Ｃから
ＪＧ：ＪＱ＝ＪＣ`：ＪＣ
AA'，ＣＣ'で平行線と線分の比から（前半同様に）
ＪＣ`：ＪＣ＝Ｃ'Ａ'：ＣＡ
よってCA・FG=PQ・C'A'⇔FG：PQ＝C'A'：ＣＡ

最期にＡＢとＣ'Ｂ'の交点をＭとすると
AB・HK＝PQ・A'B'も同様に
HK：PQ＝ＭＨ：ＭＰ　（HPとＫＱが平行から）
＝ＭＢ'：MB　　　（△ＭＨＰ相似△ＭＢ'Ｂ）
＝Ａ'Ｂ'：ＡＢ （ＡＡ'平行ＢＢ'）
から導くことができます。

お礼

直線を平行移動する説明、ありがとうございます。

補足

大変失礼かもしれませんが、ＢＣとＢ'Ｃ'の交点をＩとすると、ＰＤ平行ＥＱだから平行線と線分の比より、ＤＥ：ＰＱ＝ＩＤ：ＩＰがわかりません。
DP:EQ=IP:IQ=ID:IEくらいしかわかない質問者です。これ以上の解説は、質問者が理解できないと思ったら。返事はいりません。よかったら、
ＤＥ：ＰＱ＝ＩＤ：ＩＰを解説してください。お願いします。

回答No.3

yougamaster

no2の追加説明です。
新たな図を見てくださいね。
Iを通りPD、QEに平行な青線を引きました。（図2、図3）
更に、IQをDを通るように平行に移動したものが赤線で、新たにできた交点をV、Wとします。

１、平行線と線分の比より
IP:PQ=ID:DE　(図2）
分かりにくければ
VD:DW=ID:DE・・・(1)　（図3）
赤線は平行移動したものだから、
IP=VD　PQ=DWで　結局は
IP:PQ=ID:DEが導き出されます。
比からIP/PQ=ID/DE
式変形してDE/PQ=ID/IP
比の形にするとＤＥ：ＰＱ＝ＩＤ：ＩＰ
になります。
前回の回答では飛躍しすぎていたようですね。すみません。

別の考え方として、
２、△IDV相似△EDWだから、
ID:ED=VD:WDとして以下(1)式に続くとしても良いですし、
相似な図形なのだから、2つの直角三角形
の斜辺と底辺の比は同じに決まってるので
ID:VD=ED:WD・・・(2)
(すなわちID:IP=DE:PQ)と直接的に比を書いても良いわけです。
最期のが、１番近道だと思います。

ちなみに三角比を用いると　∠IDV=θとして
cosθ=ID/VD=ED/WDで(2)式が導けます。

まだ、不明な点があれば補足してくださいね！

お礼

やっと理解できました。図もつけてくれて、大変ありがとうございます。

回答No.1

jcpmutura

直線PQとBCの交点をRとすると

∠DRP=∠ERQ
∠PDR=∠QER=90°
△DRPと△ERQの2角が等しいから
△DRP～相似～△ERQ
|DR|:|PR|=|ER|:|QR|
|ER|=|DR||QR|/|PR|…(1)

|DE|=|ER|-|DR|
↓この|ER|に(1)を代入すると
|DE|=(|DR||QR|/|PR|)-|DR|
|DE|=|DR|(|QR|/|PR|-1)
|DE|=|DR|(|QR|-|PR|)/|PR|
↓|QR|-|PR|=|PQ|だから
|DE|=|DR||PQ|/|PR|
↓両辺を|PQ|で割ると
|DE|/|PQ|=|DR|/|PR|…(2)

∠DRP=∠B'RB
∠PDR=∠BB'R=90°
△DRPと△B'RBの2角が等しいから
△DRP～相似～△B'RB
|DR|:|PR|=|B'R|:|BR|
|DR|/|PR|=|B'R|/|BR|
これと(2)から
|DE|/|PQ|=|B'R|/|BR|…(3)

∠BRB'=∠CRC'
∠BB'R=∠CC'R=90°
△BRB'と△CRC'の2角が等しいから
△BRB'～相似～△CRC'
|BR|:|B'R|=|CR|:|C'R|
|C'R|=|B'R||CR|/|BR|
↓両辺に|B'R|を加えると
|B'R|+|C'R|=|B'R|+|B'R||CR|/|BR|
↓|B'C'|=|B'R|+|C'R|だから
|B'C'|=|B'R|+|B'R||CR|/|BR|
|B'C'|=|B'R|(1+|CR|/|BR|)
|B'C'|=|B'R|(|BR|+|CR|)/|BR|
↓|BC|=|BR|+|CR|だから
|B'C'|=|B'R||BC|/|BR|
↓両辺を|BC|で割ると
|B'C'|/|BC|=|B'R|/|BR|
これと(3)から
|DE|/|PQ|=|B'C'|/|BC|
∴
|DE|:|PQ|=|B'C'|:|BC|
つまり
|BC||DE|=|PQ||B'C'|

直線PQとACの交点をSとすると

∠FSP=∠GSQ
∠PFS=∠QGS=90°
△FSPと△GSQの2角が等しいから
△FSP～相似～△GSQ
|FS|:|PS|=|GS|:|QS|
|GS|=|FS||QS|/|PS|…(20)

|FG|=|FS|-|GS|
↓この|GS|に(20)を代入すると
|FG|=|FS|-|FS||QS|/|PS|
|FG|=|FS|(1-|QS|/|PS|)
|FG|=|FS|(|PS|-|QS|)/|PS|
↓|PS|-|QS|=|PQ|だから
|FG|=|FS||PQ|/|PS|
↓両辺を|PQ|で割ると
|FG|/|PQ|=|FS|/|PS|…(21)

∠FSP=∠A'SA
∠PFS=∠AA'S=90°
△FSPと△A'SAの2角が等しいから
△FSP～相似～△A'SA
|FS|:|PS|=|A'S|:|AS|
|FS|/|PS|=|A'S|/|AS|
これと(21)から
|FG|/|PQ|=|A'S|/|AS|…(22)

∠ASA'=∠CSC'
∠AA'S=∠CC'S=90°
△ASA'と△CSC'の2角が等しいから
△ASA'～相似～△CSC'
|AS|:|A'S|=|CS|:|C'S|
|C'S|=|A'S||CS|/|AS|
↓両辺に|A'S|を加えると
|A'S|+|C'S|=|A'S|+|A'S||CS|/|AS|
↓|A'C'|=|A'S|+|C'S|だから
|A'C'|=|A'S|+|A'S||CS|/|AS|
|A'C'|=|A'S|(1+|CS|/|AS|)
|A'C'|=|A'S|(|AS|+|CS|)/|AS|
↓|AC|=|AS|+|CS|だから
|A'C'|=|A'S||AC|/|AS|
↓両辺を|AC|で割ると
|A'C'|/|AC|=|A'S|/|AS|
これと(22)から
|FG|/|PQ|=|A'C'|/|AC|
∴
|FG|:|PQ|=|A'C'|:|AC|
つまり
|CA||FG|=|PQ||C'A'|

直線PQとABの交点をTとすると

∠HTP=∠KTQ
∠PHT=∠QKS=90°
△HTPと△KTQの2角が等しいから
△HTP～相似～△KTQ
|HT|:|PT|=|KT|:|QT|
|KT|=|HT||QT|/|PT|…(30)

|HK|=|KT|-|HT|
↓この|KT|に(30)を代入すると
|HK|=|HT||QT|/|PT|-|HT|
|HK|=|HT|(|QT|/|PT|-1)
|HK|=|HT|(|QT|-|PT|)/|PT|
↓|PQ|=|QT|-|PT|だから
|HK|=|HT||PQ|/|PT|
↓両辺を|PQ|で割ると
|HK|/|PQ|=|HT|/|PT|…(31)

∠KTP=∠A'TA
∠PHT=∠AA'T=90°
△HTPと△A'TAの2角が等しいから
△HTP～相似～△A'TA
|HT|:|PT|=|A'T|:|AT|
|HT|/|PT|=|A'T|/|AT|
これと(31)から
|HK|/|PQ|=|A'T|/|AT|…(32)

∠ATA'=∠BTB'
∠AA'T=∠BB'S=90°
△ATA'と△BTB'の2角が等しいから
△ATA'～相似～△BTB'
|AT|:|A'T|=|BT|:|B'T|
|B'T|=|A'T||BT|/|AT|
↓両辺に|A'T|を加えると
|A'T|+|B'T|=|A'T|+|A'T||BT|/|AT|
↓|A'B'|=|A'T|+|B'T|だから
|A'B'|=(|A'T|+|A'T||BT|/|AT|
|A'B'|=|A'T|(1+|BT|/|AT|)|
|A'B'|=|A'T|(|AT|+|BT|)/|AT|
↓|AB|=|AT|+|BT|だから
|A'B'|=|A'T||AB|/|AT|
↓両辺を|AB|で割ると
|A'B'|/|AB|=|A'T|/|AT|
これと(32)から
|HK|/|PQ|=|A'B'|/|AB|
∴
|HK|:|PQ|=|A'B'|:|AB|
つまり
|AB||HK|=|PQ||A'B'|

お礼

三角形の相似、辺を差で表す、両辺を辺の長さで割る。などを用いた、根気のいる説明、ありがとうございます。