数学III 三角形の比の極限を求める問題

質問

三角形ABCで辺ACを s:1-s に内分する点をP、辺BCを t:1-t　に内分する点をQ、
AQとBPの交点をRとする。このとき、三角形APRの面積は三角形BQRの面積の2倍である。
(1) ｓをｔの式であらわせ。
(2) t分のs のtを正の数の範囲で0に限りなく近づけた時の値を求めよ。

どうかご回答お願いします

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

(1)QR:RA=a:1-a
BR:RP=b:1-b

とおき、

⊿AQCとBPにメネラウスの定理を用いると

[t/(1-t)][1/s][(1-b)/b]=1

これより

b=t/(s+t-ts) (1)

⊿BCPとAQにメネラウスの定理を用いると

[s/(1-s)][1/t][a/(1-a)]=1

これより

a=t(1-s)/(s+t-ts)　　　　(2)

⊿ARPの面積をS1,⊿BRQの面積をS2、∠ARP=∠BRQ=ｃとすると

S1:S2=AR*RP*sinc/2：BR*RQ*sinc/2=AR*RP：BR*RQ=(1-a)*(1-b):a*b=2:1

これより

ab+a+b-1=0 (3)

b=(1-a)/(1+a)

(1),(2)を代入

(1-t)s^2+2t^2s-2t^2=0

s={-t^2+t√[(t-1)^2+1]}/(1-t)

(2)

lim(t→0)[s/t]=lim(t→0){-t+√[(t-1)^2+1]}/(1-t)=√2

（計算間違いがなければあっているでしょう）

回答No.2

shuu_01

答えは No.1 さんと同じなのですが、計算が間違っていないことの確認とチェバの定理を使った別解です

（１）

CR の延長線と　AB の交点を S とおきます

チェバの定理から

AS　　 t　　1-s
━━・━━・━━ ＝ 1
SB　　1-t　　s

AS　　　　(1-t)s
━━ ＝ ━━━━
SB　　　　t (1 - s)

上記は △BCS と△ACS の比であり、
△BCR と △ACR の比です

△BQR と △APR の面積の比は

(1-t)s　　　 s
━━━━・━ ＝　２
t (1 - s)　　t

(1-s)s^2 + 2t^2 s -2t^2 ＝ 0

s ＝ (-t^2 ±t√(t^2-2t+2)) / (1-t)

s ＞ 0 ですので、

s ＝ (-t^2 ＋t√(t^2-2t+2)) / (1-t)

（２）

s/t ＝ (-t +√(t^2-2t+2)) / (1-t)

im(t→0)[s/t] ＝ lim(t→0){-t+√[(t^2 - 2t + 2]}/(1-t) ＝ √2