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平面図形の辺の比の問題(数学A)

△ABCにおいて、辺ABを２：３に内分する点をD、辺ACを３：１に内分する点をEとする。 そして点D,Eから辺BCと平行な直線を引き、それと辺AC、ABとの交点をF,Gとする。 (ア)DG:ABを求めよ。 (イ)DF:GEを求めよ。 解き方を教えてください。 ちなみに夏休みの宿題です。

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  • yyssaa
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△ABC△AGE△ADFはお互いに相似なので、 対応する辺の長さの比は等しくなります。 AG/AB=AE/AC=3/4 AG=(3/4)AB DG=AG-AD=(3/4)AB-(2/5)AB DG/AB=(3/4)-(2/5)=7/20 DG:AB=7:20 DF/GE=AD/AG={(2/5)AB}/{(3/4)AB}=8/15 DF:GE=8:15

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  • 回答No.2
  • gohtraw
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特定の三角形を想定したのでは、一般性を失っていないことを証明する必要が生じます。 三角形の相似（△ＡＢＣとＡＤＦ、ＡＧＥ）を用いれば ＡＧ＝３ＡＢ／４　 ＡＤ＝２ＡＢ／５ なので、ＤＧ＝７ＡＢ／２０ ＥＧ＝３ＢＣ／４ ＦＤ＝２ＢＣ／５ なのでＥＧ／ＦＤ＝１５／８ となります。

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問題の書きっぷりからして、どんな△ABCでも成り立つようになっているハズ。 Ａを原点、Ｂを(5,0)、Ｃを(0,4)の三角形を想定すれば、 ＥＧの方程式は、y=-4/5x+3 Ｇの座標は(15/4, 0) > (ア)DG:ABを求めよ。 =(15/4-2):5 =7:20 とか。　…計算違ってなければ。

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図までつけてくださりありがとうございます！ 座標を使って解く方法は全く思いつかなかったです。

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