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三角比の問題について。
三角形ABCにおいて、辺BCの中点をMとし、AB=6、AM=4、cos∠AMB=-1/8とする。 1. BMの長さをxとする。xを求めよ。 2. ACの長さbおよび△ABCの面積Sを求めよ。 3. ∠Bの2等分線と辺ACとの交点をNとするとき、△ABNの面積Tを求めよ。 教えて下さい。 宜しくお願い致します。
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- info22_
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1 △ABMに余弦定理を適用して AB^2=AM^2+BM^2-AM*BMcos∠AMB AB=6、AM=4、cos∠AMB=-1/8, BM=xを代入すると 36=16+x^2-2*4x(-1/8) x^2+x-20=0 (x+5)(x-4)=0 xは辺の長さなのでx>0 ∴x=4 ...(答え) 2 BC=2BM=2*4=8 AM=BM=CM=4ゆえ△ABMと△ACMは二等辺三角形 ∠B=∠BAM,∠C=∠CAM ∠B+∠C=∠BAM+∠CAM=∠A=180°-∠A ∴∠A=90° △ABCは∠A=90°の直角三角形なので ３平方の定理から AC^2=BC^2-AB^2=8^2-6^2=64-36=28 b=AC>0より ∴b=AC=√28=2√7 ...(答え) △ABCの面積=(1/2)AB*AC=(1/2)*6*2√7=6√7 ...(答え) 3 角の２等分線定理より AN:CN=AB:BC=6:8 △ABNと△ABCの面積比は高さ共通なので底辺の長さの比に等しいから (△ABNの面積)/(△ABCの面積)=AN/AC=AN/(AN+CN)=6/(6+8)=3/7 ∴△ABNの面積=(3/7)(△ABCの面積)=(3/7)*6√7=(18/7)√7 ...(答)
- shuu_01
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No.1 ですが、（３） を間違えてました N は AC の中点ではなく、∠B の二等分線でしたので 訂正します： ――――――――――――――――――――――― （１） A から BC に垂線をおろし、BC との交点を H と置きます すると、cos ∠AMB ＝ － 1/8 より、H は M より C 側の点で MH ＝ 4 × 1/8 ＝ 1/2 となります △AMH は直角三角形なので AM^2 ＝ MH^2 ＋ AH^2 4^2 ＝ （1/2）^2 ＋ AH^2 AH^2 ＝ 63/4 AH ＝ （3/2）√7 △ABH も直角三角形なので AB^2 ＝ BH^2 ＋ AH^2 6^2 ＝ BH^2 ＋ 63/4 BH^2 = 36 － 63/4 ＝ 81/4 BH ＝ 9/2 ＝ 4.5 x ＝ BM ＝ BH － MH ＝ 9/2 － 1/2 ＝ 4 （２） △AHC も直角三角形なので AC^2 ＝ AH^2 ＋ CH^2 b^2 ＝ 63/4 ＋ （4 － 1/2）^2 ＝ 28 b ＝ 2√7 △ABC の面積 S ＝ 1/2 × BC × AH ＝ 1/2 × 8 × （3/2）√7 ＝ 6√7 （３） AN ： NC ＝ AB：BC ＝ 6：8 ＝ 3：4 なので △ABN の面積 T は △ABC の面積 S の 3/7 なので （18/7）√7 【答え】 （１） x ＝ 4 （２） b ＝ 2√7 S ＝ 6√7 （３） T ＝ （18/7）√7
- shuu_01
- ベストアンサー率55% (759/1365)
（１） A から BC に垂線をおろし、BC との交点を H と置きます すると、cos ∠AMB ＝ － 1/8 より、H は M より C 側の点で MH ＝ 4 × 1/8 ＝ 1/2 となります △AMH は直角三角形なので AM^2 ＝ MH^2 ＋ AH^2 4^2 ＝ （1/2）^2 ＋ AH^2 AH^2 ＝ 63/4 AH ＝ （3/2）√7 △ABH も直角三角形なので AB^2 ＝ BH^2 ＋ AH^2 6^2 ＝ BH^2 ＋ 63/4 BH^2 = 36 － 63/4 ＝ 81/4 BH ＝ 9/2 ＝ 4.5 x ＝ BM ＝ BH － MH ＝ 9/2 － 1/2 ＝ 4 （２） △AHC も直角三角形なので AC^2 ＝ AH^2 ＋ CH^2 b^2 ＝ 63/4 ＋ （4 － 1/2）^2 ＝ 28 b ＝ 2√7 △ABC の面積 S ＝ 1/2 × BC × AH ＝ 1/2 × 8 × （3/2）√7 ＝ 6√7 （３） △ABN の面積 T は △ABC の面積 S の 1/2 なので 3√7 【答え】 （１） x ＝ 4 （２） b ＝ 2√7 S ＝ 6√7 （３） T ＝ 3√7
