数学 相似

質問

この問題の解き方をわかりやすく教えてください。中３、相似の問題です。

下の図で、点D,Eは△ABCの辺ABを３等分する点、点Mは辺ACの中点であり、BMとCMの交点をFとする。
△ABCの面積が36cm2のとき、△EBFの面積を求めなさい。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

△BAMの面積は半分だから１８
△BDMの面積は△BAMに比べ底辺が
2/3になるから 18 x 2/3= 12
△BEFは△BDMと相似で比は1:2
だから面積は １/4
12 x 1/4=3

お礼

とても、簡潔にまとめていただいて、ありがとうございます。
わかりやすかったです、ありがとうございました!

回答No.2

info22_

補助線EMを引いて考える。

まず△ADM∽△AECを示す。
　∠A共通,AD:AE=AM:AC=1:2（∵AD=DE=AB/3,AM=MC）
これから　∠ADM=∠AEC　
つまり直線DMと直線ECに直線ABが交わっていると考えると同位角が等しいので
　DM//EC ⇒　DM//EF
が言える。

次に△EBF∽△DBMを示す。
　角B共通、BF:BM=BE:BD=1:2(∵DM//EF,BE=ED=AB/3)

△EBFと△DBMは相似だから面積比は相似比の２乗に比例するので
　△EBF/△DBM=(BE/BD)^2=(1/2)^2=1/4
　∴△EBF=△DBM/4　...(1)

△DBMと△ABMの面積比を考えると
　BD=(2/3)ABで底辺BD,BAの比が2:3で高さは等しいので
　△DBM：△ABM=BD:AB=2:3
　∴△BDM=(2/3)△ABM ...(2)

次に△ABMと△ABCの面積比を考えると
　底辺AB共通、高さの比=AM:AC=1:2 (∵AM=AC/2)なので
　△ABM:△ABC=1:2
　∴△ABM=(1/2)△ABC ...(3)

(1),(2),(3)より
　△EBF=(1/4)△BDM=(1/4)(2/3)△ABM=(1/6)△ABM
　　　 =(1/6)(1/2)△ABC=(1/12)△ABC

題意より△ABC=36 cm2であるからこれを代入して
　∴△EBF=36/12=3 cm2

お分かり？

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
「相似」というよりも、三角形の面積とその公式から考える
（高さが同じならば、面積比は底辺の長さの比になる）問題ですね。

1) まず、点Aと点Fを結びます。
この補助線を引くだけで、いろんなことがわかってきます。

2) 三角形BEFと三角形AEFを考えると、底辺の比が 1：2になります。
高さは共通ですから、三角形BEF：三角形AEF＝ 1：2となります。

3) 同じようなことを
三角形ABMと三角形CBM、三角形AFMと三角形CFM
でそれぞれ考えます。
この結果から、三角形ABFと三角形CBFの面積比が得られます。

4) 1)と3)の結果から、三角形BEFと三角形BCFの面積比も得られます。
これら 2つの三角形は、また高さが共通なので、底辺の比として EF：CFがわかります。

5) 4)の辺の比がわかると、三角形BEFの面積を Sとして、
三角形ABC全体の面積を Sで表すことができます。
もし、三角形ABCの面積が 10Sとして求まれば、10S＝ 36より S＝ 18/5となりますね。
いろんな三角形の面積を Sを用いて（三角形BEFの何倍になるかを）表してみてください。

お礼

とてもわかりやすいご回答ありがとうございました!!!