中学数学で相似についておしえてください。

質問

相似のところで、
「三角形ＡＢＣと三角形ＰＱＲが相似で、ＡとＰ、ＢとＱ，ＣとＲがそれぞれ対応する時、三角形ＡＢＣ相似三角形ＰＱＲと書く」と書いてありました。（三角マークとかは出せませんでした。すみません・・）

そういう時、もし、辺ＡＢと辺ＱＲとかが対応する辺ってことでもいいのかどうかで、
いけないんじゃないかと思ったんですが、問題であれって思ったのがあってわからなくなってしまいました。

三角形ＡＢＣとＤＥＦで次の関係の時相似といえるか、という問題で、
（1）ＤＥ：ＡＢ＝ＤＦ：ＢＣ＝ＥＦ：ＣＡ
（2）ＡＢ：ＤＥ＝ＢＣ：ＥＦ、角Ｂ＝Ｅ
（3）ＡＣ：ＥＦ＝ＢＣ：ＤＦ、角Ｃ＝Ｆ
（4）ＡＢ：ＤＥ＝ＡＣ：ＥＦ，角Ａ＝Ｄ
（5）角Ａ＝Ｄ、角Ｂ＝Ｆ
（6）角Ｂ＝Ｆ，角Ｃ＝Ｅです。

答えは（4）以外はすべて相似でした。
これってＤＦとＢＣとかは対応しているっていうことでしょうか？
数学が苦手でぜんぜんわかりません。
もし、よかったら教えてください。

回答No.3

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

＞＞＞数学が苦手でぜんぜんわかりません。

いいえ。これは、不得意かどうかという問題じゃないですね。

△ＡＢＣ　∽　△ＤＥＦ
と書き表したとき、
頂点Ａと頂点Ｄ、頂点Ｂと頂点Ｅ、頂点Ｃと頂点Ｆがそれぞれ対応するという、暗黙の約束事があります。

合同を表すときも、同じです。

ですから、

＞＞＞そういう時、もし、辺ＡＢと辺ＱＲとかが対応する辺ってことでもいいのかどうかで、いけないんじゃないかと思ったんですが

という、あなたの考え方は、そのとおりです。
特に、証明問題であれば、頂点、角、辺の対応は重要です。
辺ＡＢと辺ＱＲは対応しませんからね。

さて、
（１）～（６）の問題は、どの頂点とどの頂点が対応するかを隠して、
相似かどうかを判断させる問題です。
問題文に最初から頂点の対応を正しく書くと、あまりにも簡単に解けてしまいますからね。

ですから、そのことについては、わり切って考えてください。

△ＡＢＣ　∽　△ＤＥＦ
△ＡＢＣ　∽　△ＤＦＥ
△ＡＢＣ　∽　△ＥＤＦ
△ＡＢＣ　∽　△ＥＦＤ
△ＡＢＣ　∽　△ＦＤＥ
△ＡＢＣ　∽　△ＦＥＤ
の６通りのうちのどれになるかは、解答者に考えさせているわけです。

（1）ＤＥ：ＡＢ＝ＤＦ：ＢＣ＝ＥＦ：ＣＡ
（3）ＡＣ：ＥＦ＝ＢＣ：ＤＦ、角Ｃ＝Ｆ
この２つは、最終的には、
△ＡＢＣ　∽　△ＤＥＦ
ではなく、
△ＡＢＣ　∽　△ＥＤＦ
と書くべきです。
（１）は、三辺の比で相似、（２）は、二辺挟角で相似です。

（2）ＡＢ：ＤＥ＝ＢＣ：ＥＦ、角Ｂ＝Ｅ
これは、迷う必要がありませんね。
紛れもなく　△ＡＢＣ　∽　△ＤＥＦ　です。
二辺挟角で相似です。

（5）角Ａ＝Ｄ、角Ｂ＝Ｆ
（6）角Ｂ＝Ｆ，角Ｃ＝Ｅ
この２つも最終的には、
△ＡＢＣ　∽　△ＤＦＥ
と書くべきです。
２角が等しいので相似です。

（4）ＡＢ：ＤＥ＝ＡＣ：ＥＦ，角Ａ＝Ｄ
これは、２辺の関係では
△ＡＢＣ　と　△ＥＤＦ
として考えますが、角の場所が違うので、ダメ。

以上、ご参考になりましたら。

お礼

こんばんわ。
ていねいに教えてくださってありがとうございます。

この問題ではＡとＤ、ＢとＥ、ＣとＦが対応するとか書いてないから、どことどこが対応する可能性もあるということだったんですね。

ただちょっとだけ気持ち悪い感じがするのは、
（3）は△ＡＢＣ△ＥＤＦの並び順どおりで辺が対応しているけれど、
（1）は順番どおりに言ったらＥＤ：ＡＢ＝ＤＦ：ＢＣ＝ＥＦ：ＡＣとかにならないのかな、みたいには思ったんですが、きっとＥＤもＤＥもおんなじなんだなと思うことにします。

とてもわかりやすくて、うちでおしえていただいてるみたいにわかりやすかったです。
どうもありがどうございました。

回答No.5

i7010_man

合同や相似では、
　記号を使って式に書くときだけは、対応の順で書くのがルールです。

　△ＡＢＣ∽△ＥＤＦと書いてあれば、
ＤＦとＢＣが対応している、という意味になります。

　2つの三角形の名前を書くだけなら、対応の順は無視してＯＫです。

＞三角形ＡＢＣとＤＥＦで次の関係の時相似といえるか・・・

　これは名前を並べて書いているだけなので、対応の順は無視しています。
　ＢＣとＥＦが対応しているかはわかりません。

（1）～（6）は、面倒ですが１つずつ三角形を書いた方がいいですよ。
対応する場所もわかりやすいですから。
慣れれば図を使わずにできるようになります。

お礼

問題のところが、式じゃなかったから色々なならびかたをかんがえなければいけなかったということなんですね。

それで、式にする時は場所の対応がちゃんとあっているはずなんですね。
またひとつ知ることが出来てうれしいです。

きっとこうなんじゃない？？みたいに思って問題をやるだけなので
違ったら実はわからないことがいくつもいくつもかくれてるってことが
全員の先生たちの回答でよくわかりました。
おしえていただいたことを忘れないように気をつけてやります。
ありがとうございました☆☆☆

回答No.4

arrysthmia

三角形ＡＢＣが三角形ＥＤＦに相似であるとき、
三角形ＡＢＣと三角形ＤＥＦが相似であると言っても良いか？
という質問ですね。

三角形が相似であることに変わりはありませんから、
そう言ってもよいのです。頂点を対応順に書くのは、
そうしたほうが分かり易いということであって、
必ずそう書かなければならないということではありません。

ただ、自分で書くときには、自分自身の頭を整理する意味でも、
読み手に「俺は、わかっているんだ」と伝える意味でも、
なるべく、頂点の対応順に書くようにしたほうが好いでしょう。

お礼

三角形ＡＢＣが三角形ＥＤＦに相似であるとき、
三角形ＡＢＣと三角形ＤＥＦが相似であるといってもいいんですね。

そういうことって解説を見ても書かれていないので、
ずっとわからなくているところでした。
教えていただいてよかったです。

わかることが少し増えました。ありがとうございました。

回答No.2

gamjtpdjmj

その段階で悩んでいると全然前に進めないのではないかと思います。
簡単に言えば相似は「形が一緒で大きさが違うもの」です。
合同はわかりますか？まずは「形も大きさも同じ」合同な三角形二つを使って考えるのがいいと思います。質問にある問題については、合同である三角形ＡＢＣと三角形ＤＥＦを使うのがよいと思います。あとは極端な三角形を実際に絵に書いて考えてください。ＡＢ＝ＤＥ＝７、ＢＣ＝ＥＦ＝２４、ＣＡ＝ＦＤ＝２５、角Ｂ＝角Ｅ＝９０°の三角形を例にとって考えてみたり…
数学をうまくなるためにはたくさんの絵を書いてください。文章題も絵に書いてわかりやすくまとめていけばなんてことないです。質問にある問題もいろんなパターンの三角形を１０個でも２０個でも書いて実際に確かめることで分かるはずです。
ちなみに数学が苦手だというので書いておきますが合同って相似の特殊なとき(まったく同じ図形なため)と考えることができます。

お礼

アドバイスありがとうございます。
合同って言うのは相似の仲間みたいなもの？？とか思っていたので、「合同って相似の特殊なとき」と教えていただいて納得しました。

数学が出来るようになるには絵を描くんですね。
これから苦しいけど絵を描いてトライしてみます。
ありがとうございました。

回答No.1

owata-www

(1)Ａ、Ｂ、ＣがＥ、Ｄ、Ｆに対応しています　よって△ＡＢＣ∽△ＥＤＦ(三辺の比)になります　（△は“さんかく”で変換　∽は“そうじ”で変換　∠は“かく”で変換）

(2)Ａ、Ｂ、ＣがＤ、Ｅ、Ｆに対応しています　よって、△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ（二辺の比と挟角）になります

（３）Ａ、Ｂ、ＣがＥ、Ｄ、Ｆに対応しています　よって△ＡＢＣ∽△ＥＤＦ(二辺の比と挟角)になります　

（４）辺から言うと、Ａ、Ｂ、ＣがＥ、Ｄ、Ｆに対応していますが、∠Ａと∠Ｄは対応しないので、相似の条件を満たしません

（５）Ａ、Ｂ、ＣがＤ、Ｆ、Ｅに対応しています　よって、△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ（二角or三角）となります

（６）Ａ、Ｂ、ＣがＤ、Ｆ、Ｅに対応しています　よって、△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ（二角or三角）となります

相似条件は教科書で確認してください

お礼

お返事くださってありがとうございます。

（1）で、Ａ、Ｂ、ＣがＥ，Ｄ，Ｆに対応するっていうことは、
もしＡが一番上の角でＢが左下でＣが右下だったら、Ｅは一番上の角でＤが左下でＦが右下ってことかな・・と思ったんですが、
そうしたら、辺ＥＤと辺ＤＥとか、辺ＥＦと辺ＦＥは同じことって考えでいいってことなんですね。

△、∽、∠出てきました。魔法みたいでびっくりしました。
ありがとうございました。