延々とできる三角形の相似比

質問

∠Ｂを直角とする三角形ABCとこの三角形の３辺に接するＣ0がある。辺ＡＢと平行な円Ｃ0の接線が辺ＡＣおよび辺ＢＣと交わる点をそれぞれＡ1、Ｂ1とし、三角形Ａ1Ｂ1Ｃの3辺に接する円をＣ1とする。以下同様にＡn、Ｂnを定め、三角形ＡnＢnＣの3辺に接する円を円Ｃnとする。
ＢＣ＝a、∠Ｃ＝２θとする(0＜θ＜π/４)

このとき、なぜ常にＡnＢnＣとＡn-1Ｂn-1Ｃの相似比が常に等しいかわかりません。
どなたか解説お願いします。

回答No.1

banakona · ベストアンサー

直観的回答：相似とは、ざっくり言えば拡大コピーしたり、縮小コピーしたりすればピタリと重なるということ。だからそれに内接する円の面積と、元の三角形の面積比は一定。だからＡnＢnとＡn-1Ｂn-1Ｃの相似比が一定になるのは明らか。

非直観的回答：ＡＢ＝ｃ、ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂとすると内接円の半径ｒは　　ｒ＝２Ｓ／（ａ＋ｂ＋ｃ）　　ただしＳは△ＡＢＣの面積
Ｓ＝ｃａ／２だから　　ｒ＝ａｃ／（ａ＋ｂ＋ｃ）
Ｂ1ＣはＢＣより２ｒだけ短いから相似比は　
　　Ｂ１Ｃ：ＢＣ＝ａ－２ａｃ／（ａ＋ｂ＋ｃ）：ａ
　　　　　　　　＝（ａ＋ｂ－ｃ）／（ａ＋ｂ＋ｃ）：１
ｋ＝（ａ＋ｂ－ｃ）／（ａ＋ｂ＋ｃ）とおくと、
　　Ｂ１Ｃ＝ｋａであり、
Ａ１Ｃ＝ｋｂ、Ａ1Ｂ１＝ｋｃとなるので、上記と同様の計算をすると、
　　Ｂ2Ｃ：Ｂ1Ｃ＝ｋａ－２ｋａ・ｋｃ／（ｋａ＋ｋｂ＋ｋｃ）：ｋａ
　　　　　　　　＝（ａ＋ｂ－ｃ）／（ａ＋ｂ＋ｃ）：１
となって、相似比が同じであることが分かる。

お礼

わざわざ画像までありがとうございました。
非常にわかりやすかったです。