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数学I 三角比の問題

基本的な問題ばかりですが回答が手元になくて困っています。多いですがよろしくお願い致します。 1.△ABCの外接円をOとする。円Oの点Aでの接線をlとし、l上の点DをBDとACが平行になるようにとる。さらに AB=3 , AC=4 , AD=15/4とする。 (1)△ABCと△BDAが相似になることを示せ。 (2)BCを求めよ。 (3)円Oの半径を求めよ 2.四角形ABCDは∠D=120°, AB=BC=CA=3を満たす。対角線AC,BDの交点をPとする。 (1)この四角形は円に内接することを示せ。 (2)∠ADBを求めよ。 (3)PB:PD=2のとき、PAを求めよ。 3.△ABCでABの中点をD、ACの中点をEとし、BEとCDの交点をGとする。次のことを証明せよ。 (1)△ABCと△ADEは相似 (2)△DEGと△CBGは相似 (3)BG:GE=2:1 4.△ABCでAB上に点Dがあり、AD=AC=BC=1 , BD=CDとする。 (1)△ABCと△BCDが相似なことを証明せよ。 (2) x = BDを求めよ。 5.△ABCで∠Aの二等分線とBCの交点をDとする。また、Cを通るABに平行な直線と∠Aの二等分線との交点をEとする。 (1)△ABDと△ECDが相似なことを証明せよ。 (2)AB:BD=AC:CDを証明せよ。

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>数学I 三角比の問題 >基本的な問題ばかりですが回答が手元になくて困っています。多いですがよろしくお願い致します。 中学の内容だけで解けます。 この問題で、図を正確に描くのは意外に難しいですが(1と4とか)、図がないと解けないので、 大体でもいいから必ず図をかいて考えてください。 >1.△ABCの外接円をOとする。円Oの点Aでの接線をlとし、l上の点DをBDとACが平行になるようにとる。 >さらに AB=3 , AC=4 , AD=15/4とする。 > (1)△ABCと△BDAが相似になることを示せ。 AC//BDより、錯角が等しいから、 ∠BAC=∠DBA 接弦定理より、 ∠ACB=∠BAD よって、2つの角が等しいから、 △ABC∽△BDA、 > (2)BCを求めよ。 (1)より、BC:DA=AC:BAより、BC:(15/4)=4:3 よって、BC=(15/4)・4・(1/3)=5 > (3)円Oの半径を求めよ AB=3 , AC=4と(2)より、△ABCはBCが斜辺の直角三角形だから、 ∠BAC=90°より、弧BC上の円周角と考えると、外接円Oの直径はBC だから、半径=BC/2=5/2 >2.四角形ABCDは∠D=120°, AB=BC=CA=3を満たす。対角線AC,BDの交点をPとする。 > (1)この四角形は円に内接することを示せ。 AB=BC=CAだから、△ABCは正三角形。よって、∠A=∠B=∠C=60° ∠D=120°より、四角形ABCDの向かい合った角の和∠B+∠D=60°+120°=180° だから、四角形は円に内接する。 (円は、△ABCの外接円。) > (2)∠ADBを求めよ。 弧AB上の円周角だから、∠ADB=∠ACB(∠C)=60° > (3)PB:PD=2のとき、PAを求めよ。 問題の意味が分かりません。(問題を確認してください) (2)までの結果からは、 PB:PD=3:1,PA=3/2 です。 >3.△ABCでABの中点をD、ACの中点をEとし、BEとCDの交点をGとする。次のことを証明せよ。 > (1)△ABCと△ADEは相似 ∠Aは共通 AB:AD=AC:AE=2:1 よって、2辺の比とはさむ角が等しいから、 △ABC∽△ADE > (2)△DEGと△CBGは相似 (1)より、∠ABC=∠ADEより、同位角が等しいから、BC//DE これから、2組の錯角が等しいから、 ∠GDE=∠GCB,∠GED=∠GBC よって、2つの角が等しいから、 △DEG∽△CBG > (3)BG:GE=2:1 (2)より、BG:GE=BC:DE (1)より、BC:DE=AB:AD=2:1 よって、BG:GE=2:1 >4.△ABCでAB上に点Dがあり、AD=AC=BC=1 , BD=CDとする。 > (1)△ABCと△BCDが相似なことを証明せよ。 ∠Bは共通 ……(ア) AC=BCより、△ABCは二等辺三角形 だから、 ∠B=∠BAC BD=CDより、△BCDは二等辺三角形 だから、 ∠B=∠BCD よって、∠BAC=∠BCD ……(イ) (ア)(イ)より、2つの角が等しいから、 △ABC∽△BCD > (2) x = BDを求めよ。 AB=AD+BD=1+x (1)より、AB:BC=AC:BDだから、(1+x):1=1:x より、 x(1+x)=1 x^2+x-1=0 x>0より、 よって、x=(-1+√5)/2 >5.△ABCで∠Aの二等分線とBCの交点をDとする。また、Cを通るABに平行な直線と∠Aの二等分線との交点をEとする。 > (1)△ABDと△ECDが相似なことを証明せよ。 AB//CEより、錯角が等しいから、 ∠ABD=∠ECD 対頂角が等しいから、 ∠ADB=∠EDC よって、2つの角が等しいから、 △ABD∽△ECD > (2)AB:BD=AC:CDを証明せよ。 (1)より、AB:EC=BD:CD ……(ウ) ∠BAD=∠CED ……(エ) BCは∠Aの二等分線だから、 ∠BAD=∠CAD ……(オ) (エ)(オ)より、∠CAD=∠CEDより、△ACEは二等辺三角形 よって、AC=EC これと、(ウ)より、 AB:AC=BD:CD AB・CD=AC・BD AB・CD/BD・CD=AC・BD/BD・CDより、 AB/BD=AC/CD よって、AB:BD=AC:CD 図を見ながら確認してみてください。 (証明は、大体の流れだけなので、きちんと書き直したほうがいいと思います。  他にも方法はあると思います。) 問題が多すぎるので、次回からは半分ぐらいにずつに分けて提示するといいと思います。

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質問者からのお礼

お礼が遅くなり申し訳ないです。 とてもわかりやすく教えていただいて 本当にありがとうございます。 しっかり図を書いて解いていきます。

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教科書読め。

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