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中学数学の相似と比です

平行四辺形ABCDがあり、辺AB、ADの中点をそれぞれE、Fとし、対角線BDと線分CFの交点をP、線分CFとDEの交点をQとする。FP=3cmのときのPQの長さを求めなさい。 という問題なのですが…。 中点連結定理によって∠FEQ=∠PDQ(錯覚) ∠FQE=∠DQP(対頂角) △PDQと△QFEは相似だというところまではわかりました。(二角相等) ただ、そこから先がぜんぜんわかりません。 解説お願いします。

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  • 回答No.1

△FPDと△CPBも相似ですね。相似比はFD:BC=1:2ですから1:2 これよりBP:DP=2:1です。だからDP=(1/3)BDです。 一方中点連結定理よりEF=(1/2)BD よってEF:DPがわかりますね。 ここで「△PDQと△QFEは相似」という、あなたが証明したことを使うと、 EF:DP=FQ:PQです。あとはできますね? 結論はPQ=(6/5)cmです。

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  • 回答No.2

先に三角形FQDと三角形CQBに注目する。これも相似。 FD:BC=1:2なのでBP:PD=2:1 PDをaとするとBDは2a。EFは3a/2(EF:BD=1:2ね) そうしたらEFとPDの比が出るから解けるでしょ。

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