中学数学の相似と比です

質問

平行四辺形ABCDがあり、辺AB、ADの中点をそれぞれE、Fとし、対角線BDと線分CFの交点をP、線分CFとDEの交点をQとする。FP=3cmのときのPQの長さを求めなさい。
という問題なのですが…。

中点連結定理によって∠FEQ=∠PDQ（錯覚）
∠FQE=∠DQP（対頂角）
△PDQと△QFEは相似だというところまではわかりました。（二角相等）
ただ、そこから先がぜんぜんわかりません。
解説お願いします。

回答No.1

pyon1956 · ベストアンサー

△FPDと△CPBも相似ですね。相似比はFD:BC=1:2ですから1：2
これよりBP:DP=2:1です。だからDP=(1/3)BDです。
一方中点連結定理よりEF=(1/2)BD
よってEF:DPがわかりますね。
ここで「△PDQと△QFEは相似」という、あなたが証明したことを使うと、
EF:DP=FQ:PQです。あとはできますね？

結論はPQ=(6/5)cmです。

回答No.2

finneganswake

先に三角形FQDと三角形CQBに注目する。これも相似。
FD：BC=1:2なのでBP:PD=2:1
PDをaとするとBDは2a。EFは3a/2（EF:BD=1:2ね）
そうしたらEFとPDの比が出るから解けるでしょ。