相似の問題

質問

「△ＡＢＣ（ＡＢ＝７cm　ＢＣ＝８cm　ＣＡ＝６cm）で、　ＡＢ，ＢＣの中点をそれぞれＭ，Ｎとし、
∠Ｃの２等分線がＡＮ，ＡＢと交わる点をそれぞれ
Ｐ，Ｑとするとき、ＡＰ：ＰＮを求めなさい」
という問題がわかりません。
△ＡＰＱと△ＣＰＮが相似かなとおもうのですが、
∠ＡＰＱ＝∠ＣＰＮしかわかりません。
もし△ＡＰＱ∽△ＣＰＮとしても、ＡＰとＰＮは
対応する辺じゃないので、相似比だけでは答えにならないし・・・（ＡＱ＝４cmになるのはわかりました）助けてください！！

回答No.1

NorthMole · ベストアンサー

多分あってると思うのですが、
まず、
>△ＡＢＣ（ＡＢ＝７cm　ＢＣ＝８cm　ＣＡ＝６cm）で、　ＡＢ，ＢＣの中点をそれぞれＭ，Ｎとし、

ですから、△ABCと△BMNは相似になりますので、ACとMNの関係は？？？

そんでもって、∠Cの二等分線とMNの交点をRとしたときの、△CNRのは、どんな三角形？？？

お礼

＞ACとMNの関係は？？？
平行！
＞△CNRのは、どんな三角形？？？
二等辺三角形！！

△ＡＰＣ∽△ＮＰＲだから、
ＡＰ：ＰＮ＝ＡＣ：ＲＮ　ＲＮ＝ＮＣ＝４cm

ですね！！！すご～くよくわかりました！！！！
ありがとうございました！！！！！

回答No.4

fumm-fumm

itsukiさんの
「∠ＡＣＰ＝∠ＮＣＰ（∠Ｃの２等分線）
　ＣＡ＝6、ＣＮ＝4ですから
　ＡＰ：ＰＮ＝6：4＝3：2」
の単純さが気に入りました。

ということは、Ｎが中点でなくても
兎に角、ＡＰ：ＰＮ＝ＣＡ：ＣＮ　？
これは、どんな長さでも使えて便利そうです。

でも何故でしょう。相似を使って確かめて見ましょう。
ＮとＡから二等分線に垂線をおろし、それぞれの交点を
Ｘ、Ｙとすると
　　△ＣＡＹ∽△ＣＮＸ
　　△ＰＡＹ∽△ＰＮＸ
ということは、
ＣＡ：ＣＮ＝ＮＸ：ＡＹ＝ＡＰ：ＰＮ

なるほど。itsukiさん理論は正しい。

お礼

なるほど～！！！
itsukiさんにいただいた回答、おかげさまで納得できました。ありがとうございました！！！！！

回答No.3

fumm-fumm

ＮＭと∠Ｃの２等分線の交点をＲとすると

ＮＭ（ＮＲ）がＡＣと平行だから
△ＡＰＣ∽△ＮＰＲとなります。

また、ＮＭがＡＣと平行でＣＲが∠Ｃの２等分線だから
∠ＮＣＲ＝∠ＮＲＣ（＝∠ＲＣＡ）であり、
△ＣＮＲは２等辺三角形です。
これから、ＮＲ＝ＮＣ＝ＢＣ/２＝４ｃｍ。

△ＡＰＣと△ＮＰＲ相似比は６：４＝３：２となりす。

従って対応する辺ＡＰ：ＮＰの比も３：２となります。

点Ｑがくせものでしたね。

お礼

ありがとうごさいました。
この問題、（２）として「ＱＭの長さを求めよ」となっていたのです。そのための点Ｑを、今回質問した問題を考えるときに、私はすご～く気にしすぎていたのですね。

回答No.2

itsuki

単純に考えたのですが
△ＡＮＣに着目して、∠ＡＣＰ＝∠ＮＣＰ（∠Ｃの２等分線）
ＣＡ＝6、ＣＮ＝4（ＢＣの中点Ｎ）ですから
ＡＰ：ＰＮ＝6：4＝3：2

お礼

回答してくださってありがとうほざいました。
でも、なんでそうなるのかわからないデス・・・