中3の相似の問題教えてください！

質問

中3の相似の証明教えてください！
右の図の△ABCはAB=AC,AB:BC=2:1の二等辺三角形である。辺BC上にBD:DC=1:2となる点Dをとり、辺AC上に∠ADE=∠ABCとなる点Eをとる。

(1)△ABD∽△DCEを証明しなさい。
(2)AE:ECを求めなさい。
(3)二等辺三角形ABCの面積が54平方cmであるとき、△ADEの面積を求めなさい。

この問題です。分かるやつだけでもいいので教えてください！！
画像横になっていたらすみません；；

回答No.2

noname#137826 · ベストアンサー

(1)
∠CDE = 180°-∠ADE - ∠ADB = 180 - ∠ABC -∠ADB = ∠BAD
また、△ABCが二等辺三角形なので ∠ABD = ∠DCE
したがって、△ABD∽△DCE

(2)
BDの長さを1として考えてみます。
BD : DC = 1 : 2 ですから DC = 2
AB : BC = 2 : 1 より AB = 6
△ABD∽△DCE より BD : AB = CE : DC ですから CE = 1/3
したがって、AE : EC = 6-1/3 : 1/3 = 17 : 1

(3)
(2)で求めた辺の長さの比から
△ADC = △ABC×2/3
△ADE = △ADC×17/18
です。△ABC = 54平方cm を代入して計算すると、△ADE = 34 cm^2 ですね。

回答No.5

skydaddy

Ｎｏ１です。３）で間違いがありました。（1/3→1/3の２乗）

３）
△ADE＝△ABC-△ABD-△DCE
　　　　＝５４-54×1/3ー（54×1/3）×1/9
　　　　＝34

34平方センチ

お礼

有難うございました！

回答No.4

tomokoich

(1)∠ABC=∠ACB(二等辺三角形より)
よって∠ABD=∠DCE
∠ADB=180°-(∠ADE+∠CDE)仮定より∠ADE=∠ABC
∠DEC=180°-(∠DCE+∠CDE)
∠ADB=∠DEC
よって△ABCと△DCEは二角が等しいので△ABC∽△DCE

(2)AB:BC=2:1
BC:DC=1:(2/3)=3:2
AB:DC=2:(2/3)=3:1
EC=1/3BDなので
AB:EC=2:(1/9)=18:1
AE:EC=17:1

(3)△ABC=54cm2
△ADC=36cm2
△DCE=2cm2
△ADE=△ADC-△DCE=34cm2

お礼

有難うございました！

回答No.3

gohtraw

（１）∠ABD＋∠BAD＋∠ADB＝１８０°、∠ADC＋∠EDC＋∠ADB＝１８０°なので∠ECD＝∠BAD。また∠DCE＝∠ABDで二角が等しいので△ABDと△DCEは相似です。
（２）AB:BC＝２：１でBD：DC＝１：２なのでAB:BD：DC＝２：１／３：２／３です。また（１）よりDC：CE＝２：１／２ですからAB:CE＝６：１です。従ってAE:EC＝AB-CE：EC＝５：１です。
（３）上記より、△ABC：△ADE＝１：２／３＊５／６＝１：５／９になります。
　　＊△ADCは△ABCの面積の２／３であり、△ADEは△ADCの面積の５／６です。

お礼

有難うございました！

回答No.1

skydaddy

１）
∠ABD＝∠DCE
∠ADB＝180°-∠ADE-∠CDE
∠CED＝180°-∠DCE-∠CDE
△∠ADE=∠ABCから∠ADE＝∠DCE
∠ADB＝∠CED
したがって、△ABD∽△DCE（二角相等）

２）
AB:BC＝２：１、BD：DC＝１：２から
AB：DC＝3：1
AB：BD＝DC：CE＝６：１
AE＝AC-CE、AC=AB
AE:EC＝（ACーCE)：CE＝（３-1/6）：1/6＝17：1

３）
△ADE＝△ABC-△ABD-△DCE
　　　　＝５４-54×1/3ー（54×1/3）×1/3
　　　　＝30

30平方センチ

お礼

有難うございました！