根号の問題

質問

二等辺三角形ＡＢＣ(AB=AC)の辺BAの延長線と点Dで接し、辺BCの延長線と点Eで接し、辺ACと接る円Oがあります。
AB=AC=2√2, BC=2√3-２、∠ABC=75°、円Oの半径を√3＋1 とします。
これについて次の問いに答えなさい。

（１）∠DAOの大きさを求めなさい。

（２）　△ABOの面積を求めなさい。

（３）線分BEの長さを求めなさい。

（１）はわかりました。
（２）、（３）の解き方を教えて下さい。

回答No.4

yyssaa · ベストアンサー

（２）　△ABOの面積を求めなさい。
＞△ABOの面積=△BODの面積-△AODの面積なので、それぞれ計算
すると、△BODの面積=(1/2)*BD*OD=(1/2)*(AB+AD)*OD
△AODの面積=(1/2)*AD*OD、AB=2√2、ODは円Oの半径だから
OD=√3+1、よって△ABOの面積=△BODの面積-△AODの面積
=(1/2)*(AB+AD)*OD-(1/2)*AD*OD=(1/2)*AB*OD
=(1/2)*(2√2)*(√3+1)=√2*(√3+1)=√6+√2
（３）線分BEの長さを求めなさい。
＞（２）で求めた△ABOの面積=√6+√2は、△ABOの底辺をAO、
高さをOEと考えると√6+√2=(1/2)*AO*OEとなり、OEは円Oの
半径なのでOE=√3+1だから、√6+√2=(1/2)*AO*(√3+1)となり、
AO=2*(√6+√2)/(√3+1)が求まる。
（１）で∠DAO=75°が分かったので∠DAO=∠ABC=75°から
線分AOと線分BEは平行となり、AからBCに下ろした垂線の足を
Fとすると、四角形AFEOは長方形になる。よって線分BEの長さ
は線分AOの長さプラス線分BFの長さとなり、
BF=BC/2=(2√3-2)/2=√3-1から、求める線分BEの長さは、
BE=AO+BF={2*(√6+√2)/(√3+1)}+(√3-1)
=2*(√6+√2)*(√3-1)/{(√3+1)*(√3-1)}+(√3-1)
=(√6+√2)*(√3-1)+(√3-1)=(1+√6+√2)*(√3-1)
=2√2+√3-1・・・答

回答No.3

ereserve67

ANo.2です．中学レベルですね．図を描いてください．

(2)辺ACと円の接点をF，辺BCの中点をMとする．

∠OAF=∠ABM=75°，∠OFA=∠AMB=90°

から

△OAF∽△ABM

で

AM=√(AB^2-BM^2)=√{(2√2)^2-(√3-1)^2}=√3+1=OF

より△OAF≡△ABMだから

AO=AB=2√2
(AF=BM=√3-1)

△ABOは底辺をOAとしたときAM（⊥AO，⊥BC）が高さ（深さ）とみてよいので

∴△ABO=(1/2)OA・AM=(1/2)2√2(√3+1)=√6+√2

(3)

(2)で出したAFを使って

BE=BC+CE=BC+CF=BC+(AC-AF)
=2√3-2+2√2-(√3-1)=√3+2√2-1

お礼

有難うございました。

回答No.2

ereserve67

(1)∠DAO=75°ですね．

∠OFA=∠ODA=90°，OA共通，OF=OD（円の半径）
∴△AFO=∠ADO
∴∠OAF=∠OAD
=(180°-∠BAC)/2={180°-(180°-75°×2)}/2=75°

(2)辺ACと円の接点をF，辺BCの中点をMとする．

∴∠OAB=∠OAC+∠BAC=∠OAF+∠BAC
=75°+30°=105°

∴△ABO=(1/2)AB・AOsin105°=(1/2)AB・AOsin75°

ここで，∠OAF=∠ABM=75°，∠OFA=∠AMB=90°から△OAF∽△ABMで

AM=√(AB^2-BM^2)=√{(2√2)^2-(√3-1)^2}=√3+1=OF

より△OAF≡△ABMだから

AO=AB=2√2

また

sin75°=sin∠ABM=AM/AB=√(AB^2-BM^2)/AB
=√((2√2)^2-(√3-1)^2)/(2√2)=(√3+1)/(2√2)

よって

△ABO=(1/2)(2√2)^2(√3+1)/(2√2)=√2(√3+1)

=√6+√2

(3)

BE=BC+CE=BC+CF=BC+(AC-AF)=BC+AC-BM
=2√3-2+2√2-(√3-1)=√3+2√2-1

補足

中学の問題です。
そのレベルで教えていただければ有りがたいです

回答No.1

lily5353

何年生の問題かわかりませんが、三角関数の公式使えば円の半径と頂点の75°だけで全部計算できる。

２）
∠OBA＝1/2∠ABC=75°/2
∠OAB＝1/2∠DAC+∠CAB＝75°+30°＝105°
∠BOA＝180°-∠OAB-∠OBA = 75°/2

なので、OA＝BA がわかる。

△ABOの面積＝1/2×OA×AB×sin105°＝1/2×（√3＋1 ）二乗×sin（60°+45°）
※以下正弦加法公式で展開して計算してください。

３）BE＝0E/（tan∠OBE）
BE＝（√3＋1 ）／（tan(75°/2))＝（tan(（30°+45°）/2))
※以下正接の半角公式で展開すれば計算できる

補足

申し訳ありません。
中学校の問題です。
もう一度そのレベルで教えて下さい。