三角形の３辺の長さの性質の証明

質問

定理１、２辺の長さの和は、他の一辺の長さより大きい
定理２、２辺の長さの差は、他の一辺の長さより小さい
を証明する問題で、
１の証明　△ＡＢＣにおいて辺ＢＡのＡを越える延長上にＡＤ＝ＡＣであるような点Ｄをとると、ＢＤ＝ＡＢ+ＡＣ…(1)
また△ＡＣＤは、∠Ａを頂点とする二等辺三角形であるから
∠ＡＣＤ＝∠ＡＤＣ
△ＢＣＤにおいて、線分ＡＣは∠ＢＣＤの内部にあるから
∠ＢＣＤ　＞　∠ＡＤＣ
すなわち∠ＢＣＤ　＞　∠ＡＤＣ＝∠ＢＤＣ
ゆえに、定理２より　ＢＤ＞ＢＣ・・・(2)
(1)、２から　ＡＢ+ＡＣ＞ＢＣ
同様にしてＢＣ+ＢＡ＞ＣＡ，ＣＡ+ＣＢ＞ＡＢ　(終)

定理１の証明はできたんですが定理２の証明がどうしてもわからないのでどなたか教えてください。
定理１を使って証明したいです。お願いします

回答No.4

a-saitoh · ベストアンサー

面倒なので3片の長さをa,b,cとします。一般性を失わずに
0<a<=b<=c
だとします。
また、b-a=x(x>=0)
また、c-b=y(y>=0)
と置きます。

定理2は、
|a-b|<c
|a-c|<b
|b-c|<a　
が全て成り立つことを言えば良いわけです。
b,cを消してa,x,yだけの式にしてみると、
|a-b|<c →　x<a+x+y　ここで　x,y>=0,a>0なので、これは成り立つ。
|a-c|<b →　x+y<a+x→　y<a　　　
|b-c|<a　→　y<a　　

ここで定理1を使うと、
a+b>c
a+a+x < a+x+y
a < y
a<yが言えるので、OK.

お礼

ご丁寧にありがとうございます。
とても参考になりました。

回答No.3

fukuda-h

定理1を使うので　ΔABCの３辺の長さをa,b,cとすると
b+c>a,c+a>bが成り立っているのでc>a-b,c>b-aしたがってc>|a-b|
同様にしてa>|b-c|,b>|c-a|
ということでしょうね

お礼

より深く理解することができました。ありがとうございました。

回答No.2

mayan99

図を描いて証明はどうでしょう。

三角形abcとして
辺abを１辺の長さとする二等辺三角形を描く（三角形を二分するように）
これを三角形abdとする。（辺adは二辺の差になる）
∠adbは＜９０度　ですね
従って　∠cdbは＞９０度
よって　辺bc＞辺cd

お礼

図を描いてやってみて何とかできました。ありがとうございました。

回答No.1

sanori

あれれ？
そこまでいっているのでしたら・・・

ＡＢ+ＡＣ＞ＢＣ
　↓
ＡＢ＞ＢＣ－ＡＣ

右辺は２辺の差ですよね？

お礼

うっかりしてました。回答ありがとうございました。