幾何学の質問です。「APが角Aを2等分する→AB:AC=BP:PC」の証明

質問

大学生の者で、幾何学の課題で困っています。

問題：図において、APが角Aを二等分するとき、AB:AC=BP:PCであることを証明せよ。

といった問題なのですが、行き詰ってしましました。

点線部分は、私が書き加えたものです。Cを通り、APに平行な直線を引き、直線ABとの交点をDとすると、AP//CDなので、

∠BAP=BDC(同位角)・・・(1)
∠PAC=ACD(錯角)・・・(2)

また、APは角Aを二等分するので、

∠BDC=∠ACD・・・(3)

(1)、(2)、(3)より、

∠BDC=∠ACD

よって、△ACDは二等辺三角形。

・・・ここから、「AB:AC=BP:PC」に持っていけるはずなのですが・・・この次の展開がどうしてもわかりません(>_<)
よろしくお願いします<m(__)m>

回答No.2

Trick--o-- · ベストアンサー

追記

そこまで行ったら、あとは

平行線と線分の比の関係から
　AB：AD＝BP：PC
△ACDは二等辺三角形なので
　AD＝AC

∴AB：AC＝BP：PC

お礼

恥ずかしいことに、大学生なのに平行線と線分の比を知りませんでした(汗)
「いくつかの平行線に、2直線が交わるとき、対応する線分の比は等しい。」ってやつですね！
ありがとうございます、Trick--o--さんのおかげで、理解できました(^_^;)

回答No.5

nag0720

＞分子の「sin(∠APB)=sin(∠APC)」は、別に∠APBと∠APCは等しくないのに、どうして等号で結べるのでしょうか？

sin(180°-θ)=sinθ

お礼

ほんとすいません・・・中学の数学から出直さないとだめですね・・・(;^_^A アセアセ・・・

回答No.4

nag0720

大学の課題？

高校の数学では、正弦定理から自明のこととしていると思いますが。
AB/BP=sin(∠APB)/sin(∠BAP)=sin(∠APC)/sin(∠CAP)=AC/PC

お礼

自明のことなのですか！？
知らなかったです・・・すいません、ちょっとわかりません(;_;)

AB/BP=sin(∠APB)/sin(∠BAP)=sin(∠APC)/sin(∠CAP)=AC/PC

で、分母の「sin(∠BAP)=sin(∠CAP)」は、APが角Aを二等分しているので、なんとなくわかるのですが、
分子の「sin(∠APB)=sin(∠APC)」は、別に∠APBと∠APCは等しくないのに、どうして等号で結べるのでしょうか？
すいません、お暇な時に、再度ご回答いただければ幸いです(>_<)

回答No.3

noname#208568

AP//DCならば、
∠BAC=∠BDC
∠BPA=∠BCD
なので
△ABPと△DBCは、相似である。
よって、
BA:AD=BP:PC
△ACDは二等辺三角形
AD=ACなので
AB:AC=BP:PCとなる。

なんだか、中学生の課題に思えるが・・・・・？？？

お礼

×∠BAC=∠BDC
○∠BAP=∠BDC

ですよね！？
てかすいません、間違えました、課題というか、大学の授業の中の例題だったんですよ(^_^;)
その中学生レベルの例題すら理解できない僕は・・・先が思いやられますね(汗)

回答No.1

Trick--o--

長々と説明や図を書くより、検索したほうが早いと思うのだよ。
「角の二等分線」で検索すれば、こういうサイトがすぐに見つかるわけだし。

http://blog.livedoor.jp/yoshiokahisayuki/archives/50905588.html

お礼

リンク先にすごくわかりやすいpdfの資料がありました！
ありがとうございます<m(__)m>