教えてください！

質問

知人から「頭の体操」と題して出題されましたが、チンぷんカンぷん。解き方と答えをぜひ教えてください！

「二等辺三角形ＡＢＣがあります。（Ａが頂点）点Ｂから辺ＡＣに向かって角Ｂを二等分する直線ＢＤが引かれています。（ＤはＡＣ上の点）ＢＤ＋ＡＤ＝ＢＣのとき、角Ａは何度ですか？」

よろしくお願いします。

回答No.7

pyon2chan

すみません、更に補足です。

「辺BC上に点Fを頂点とする二等辺三角形となるように点Fを取ると、」というのは、
「△FDCが点Fを頂点とする二等辺三角形となるように辺BC上に点Fを取ると、」
という意味です。

なんとなく解けて舞い上がってしまって、よく見ないで回答してしまいました。

回答No.6

pyon2chan

すみません、先ほどの回答の訂正です。

BD+AD=BF+FC=BF+AD　よってBD=BF
「△BDFは点Fを頂点とする二等辺三角形になります。 」ではなく、
「△BDFは点「B」を頂点とする二等辺三角形になります。」です。

回答No.5

pyon2chan

私の少ない数学の知識をフルに使ったら、こんな回答になりました。
どうでしょうか？

∠A=a度、∠B=∠C=2b度とします。a+4b=180°
問題のとおりに点Dをとると、∠ADB=3b
ここで、∠DEB=3bとなるように、辺BC上に点Eを取る＊と、
∠ABD=∠EBD、∠ADE=∠EDB、辺BD共通で△ABD≡△EBD、
よってAD=DE、∠DEC=4b
(＊三角形の2辺の和は他辺より長いことより、△EBDにおいて、BD+DE>BE、
仮定よりBD+AD=BD+DE=BC>BE、
よって点Eは必ず点Bと点Cの間にあります。)

更に、辺BC上に点Fを頂点とする二等辺三角形となるように点Fを取ると、∠DFB=4b
∠DEC=4b、∠DFA=4bより、△DEFは点Dを頂点とする二等辺三角形となり、FC=DF=DE=AD
ここで、BD+AD=BCより、
BD+AD=BF+FC=BF+AD　よってBD=BF
△BDFは点Fを頂点とする二等辺三角形になります。
∠DBC=b、∠DFB=∠FDB=4bより、
b+4b×2=180°　よってb=20°、a=100°

わかりにくい説明ですみません。

回答No.4

kony0

うさんくさい解法ですが、中学生レベルの解法を示します。
まず△ABCで∠Bの２等分線と比の関係より、BA:BC=AD:CD...(1)
ここで、辺BC上にBD=BD'となる点D'をとると、仮定よりD'C=AD...(2)となる。
(2)とAB=ACを(1)に代入してAC:BC=D'C:CD...(3)
△CABと△CD'Dにおいて、
角C共通, CA:CD'=CB:CD（(3)で比の内項を入れ替えたもの）
より△CAB∽△CD'Dとなり、即ち△CD'DはD'C=D'Dの２等辺三角形である。

ここで、∠ABD=∠DBC=aとおくと、∠C=2a（△ABC２等辺）
∠BDA=∠BCD+∠CBD（△BCDの内角と外角の関係）=3a
また、∠D'DC=∠C（△CD'D２等辺）=2a, ∠DD'B=∠DCD'+∠CDD'=4a
あと、点D'の取り方から△BDD'も２等辺△で、∠BDD'=∠BD'D=4a
よって、∠ADB+∠BDD'+∠D'BC=3a+4a+2a=9a=180度よりa=20度

ということで角度が求められます。

私ははじめBDをDの方向にAD分だけ延長した点Pをとって、△BCP, △DAPの２等辺を用いることを考えていたのですが、#3のb_blackさんのヒントを見てから、結局D'D=D'Cを言うことがこの問題の本質であると考え、試行錯誤ののち相似の解法にたどりつきました。（このあたりで答えがある程度わかっていての「決め打ち」解法なのですが）
ちなみに、このD'D=D'Cを言うのは、たぶんそんなに簡単ではないような気がします。

さらにいい解法があるのかもしれませんが、三角定規の角度じゃないだけに、なんらかの形で合同や相似とかを用いて解いていく必要があるのは間違いないと思っています。

回答No.3

b_black

辺BC上に次の条件を満たす２点　A' と D'を求める。
1)BA=BA'
2)BD=BD'
よってD'D=D'C=A'Dを満たす様に各々の角度を計算できるはずです。

回答No.2

tiezo-

幾何的な解法が思い浮かばないので
No.1の人の方針で解きます。
AB=a BD=x AD=y ∠ABC=2θ　とします。
三角比より BC=2acos2θ
正弦定理より x=asin4θ/sin3θ　y=asinθ/sin3θ
BD+AD=BC より　x+y=BC
分母を払うと　sinθ+sin4θ=2cos2θsin3θ
積和の公式より　sinθ+sin4θ=sin5θ+sinθ
したがって　sin4θ=sin5θ
0°<4θ<180°より　4θ+5θ=180°
よって　9θ=180°　θ =20°
したがって　底辺の角度∠Ｂ＝４０°
　　　　　　∠Ａ＝１００°
頭の体操の問題なのでこのような解法ではないと思いますが
公式を用いてきれいに解けたので投稿します。

お礼

鮮やかな回答ありがとうございます。そうなんです、きっとものすごく簡単な解き方があると思うんです。もし、よろしければ、簡単な解き方のほうも考えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

Amanathu_kan

AD=x,BD=y,DC=zとして、
角Ｃの角度を2sとします（従って二等分された角Ｂはそれぞれs°）。

ここで、三角形ABD,BCD,ABCについて、それぞれ正弦定理を出しますと、
x,y,z,sについての式が４つできます。
コレを解いていくと答えが出ます。

ですけど、計算がめんどくさくて数学的にエレガントじゃない……。
まだ良答あると思い増すんで、アドバイスということで。

なお、この方法には高校２年程度の数学の知識がいります。
（正弦定理、加法定理）

お礼

ありがとうございます。大変申し訳ないのですが、私のような「アホ」にも分るように簡単に教えていただけないでしょうか？よろしくお願いします。