- ベストアンサー
角度の問題
子供の問題なのですが,解けないので困っています。もしわかる方がいらしたら教えてください。 三角形の角度の問題で,頂点を反時計回りにABCとした三角形があります。辺BC上に点Dをとり,ADを結びます。このとき,AB=AD,BD=AC,角ADC=124度となりました。 このときの角DACの角度を求めよ。 いろいろやったのですが,角DAC+角DCA=56度,というだけでそれ以上解けません。BD=ACが何かの公式になるのでしょうか。 よろしくお願いします。
- lookaround
- お礼率27% (3/11)
- 数学・算数
- 回答数11
- ありがとう数3
- みんなの回答 (11)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
lookaroundさん、こんにちは。 普通の図形的なやり方ではできないような気がしたので、三角関数を使って答えを求めてみました。 その結果、半端な値になったので、やはり普通のやり方では難しそうな雰囲気です。小学校六年生の問題とのことなので、誤植があるのかもしれませんね。 一応、どうなるのかを示してみます。 まず、 AD=AB=a AC=BD=b 求める角度DAC=x とおきます。 角CDA=124°より、角ACD+x+124=180より、角ACD = 56-x が成り立ちます。 点CからDの方向に長さCE=DB=bになるように点Eをとります。 三角形AECの面積は、(1/2)・b^2 sin(56-x) になります。…(1) 一方、三角形ADBは、AD=ABより二等辺三角形で、角ADB=角ABD=56度です。 故に、三角形ADBの面積は、(1/2)・ab sin56 が得られます。…(2) また、頂角DAB=180-56×2=68度なので、この面積は (1/2)・a^2 sin68 とも書けます…(3) これら二つの三角形の面積は、底辺の長さbで高さが共通なので等しくなります。 したがって、(1)~(3)より、 (1/2)・b^2 sin(56-x) = (1/2)・ab sin56 = (1/2)・a^2 sin68 これより、 b sin(56-x) = a sin56 b sin56 = a sin68 なので、辺々割って、sin(56-x)/sin56 = sin56/sin68 故に、 x = 56 - Arcsin( sin^2 56/sin68) ≒ 8.159392286度 … (4) が得られます。これが答えですが、半端な値なので、小学生の範囲の図形的な方法ではなかなか解けなさそうな雰囲気です。 ところで、(1)のように面積を sinを使って求める方法を少し説明しておきます。 二つの辺の長さを p, q とし、その間の角度をθとすると、底辺を q としたときに、高さが p sinθ になるので、その三角形の面積は、 S = (1/2)・p sinθ・q = (1/2)・pq sinθ と書けます。上の計算ではこの式を三回適用しました。 もし問題の読み違いや、計算違いがあったらすみません。
その他の回答 (10)
- takeches
- ベストアンサー率20% (23/113)
No.9です。 自分で「簡単に求められる」といっておきながら、とてつもない間違いでした。CD=ACでも、この場合は求められませんよね…
- ny_bigappl
- ベストアンサー率18% (3/16)
すいません どうやっても解けません・・・ やはり問題の出題ミスでは・・・
- takeches
- ベストアンサー率20% (23/113)
これを真面目に解くならば No.8のように、 b sin(56-x) = a sin56 b sin56 = a sin68 私もこれにしかたどり着きません。 三角関数があって、しかも連立方程式みたなになっているものは小学生には解けませんよね。 たぶんですね、そのプリントはミスプリしてます。 BD=ACではなく、CD=ACとセンセイはしたかったんだと思います。それなら答えは書きませんが、簡単ですよね。
- debut
- ベストアンサー率56% (913/1604)
何か妙な感じです。 ∠C の角度が決まれば問題の角∠DAC の大きさは決まる わけなので、∠C をみてみます。 例えば、BD=AC =2として、AからBDに垂線AH を引けば、△ABDは二等辺三角形なのでDH=1です。 すると、AH=tan56°。 また、△AC Hで∠C =θとすれば、sinθ=AH/AC = (tan56°)/2です。 そこで、電卓で逆関数を計算してみたら θ=47.840607709757264022545498136655・・・ とぴったりにならないのです。 じゃあ、ぴったりの角度でsin47°やsin48°が(tan56°)/2 に等しくなるか計算してみてもなりません。 この考えはどこか誤っているのかなあ?
- KCC-BOSS
- ベストアンサー率43% (19/44)
ACを対角線とする平行四辺形とADを対角線とするものを作ればよいのではないでしょうか
- shigao
- ベストアンサー率19% (38/191)
BD=ACを使うとすると ADを対角線とする平行四辺形をつくるんじゃないかな。 考えます。
- shigao
- ベストアンサー率19% (38/191)
すいません。間違いました。 もう一度考えます。
- shigao
- ベストアンサー率19% (38/191)
ACを対角線とする平行四辺形を考えてみてください。 角CADは56度 角ACDは68度 だと思います。 もしあれでしたら がんばって説明考えます。
- ny_bigappl
- ベストアンサー率18% (3/16)
△ADCで x+y+124=180 △ABCで 56+y+x+68=180 だとx+y=56で一緒になり解けないと思います。かなり難しい図形の問題だと思います。 質問者さまに質問です。この手の問題はもしかして中学受験や算数オリンピックの問題ではないかと思います。 一つ聞きたいのですが、この三角形ABCは、二等辺三角形ABD(68、56、56)と三角形ADC(∠ADC=124度)の三角形が合わさったものと考えていいのですか。図がないのでよくわからないです。 この手の問題は二つに分けた三角形を移動して違う図形にすることにより解くのが定石だと思うのですが、いろいろと移動させてみても出せません。もしかして思い描いている図形が違うのかもしれませんので、質問しています。AC=BDなので、ここを移動させてくっつけるのだと思うのですが。 三角形ABCは、二等辺三角形ABD(68、56、56)と三角形ADC(∠ADC=124度)の三角形が合わさったものと考えていいのですか
お礼
ありがとうございました。問題のミスということで すっきりしました。 ちょっと先生に切れ気味ですが。お手間を取らせました。
補足
A /|\ / | \ /__|___\ B D C 非常につたない図ですが,上記のようになっています。 これで,AB=AD,BD=AC,角ADC=124度,角DACを求めよ,です。 ご質問者さまのおっしゃることの回答になったでしょうか。 三角形ABDと三角形ADCがくっついたというか,三角形ABCの BC上にDをとってAと結んだような形です。 問題のレベルはどうなんでしょう・・・。小6の学校の宿題です。 ほかの類題は,僭越ながら,こちらで教えられる程度のレベルでした。 これだけやたらと難しいので,もしかして間違ってるのか?と勘ぐって しまいそうです。 よろしくお願いします。
△ABDは二等辺三角形 ∠ADC=124より ∠ADB=180-124=56=∠B 以上より ∠BAD=180-56-56=68 次に ∠DAC=x、∠C=yとするととすると △ADCで x+y+124=180 △ABCで 56+y+x+68=180 以上を解けばxが出ます。
お礼
ありがとうございました。 NO.8さんのお礼に書きましたが,問題の間違いでした。 お時間取らせてすいませんでした。
補足
>△ADCで >x+y+124=180 これを整理して,x+y=56(180-124) >△ABCで >56+y+x+68=180 これも整理すると,x+y=56(180-68-56) となって,どちらも同じ式(0<x<56,yも同様)までしか 求められないのではないでしょうか?
関連するQ&A
- 角度を求める図形問題のお伺い
お世話になってます。 図形の角度を求める問題を解いていたのですが、 たぶん答えはこうなるのではと思うのですが、 最後の部分の説明ができません。 そこの理由をお教えいただけますとありがたいのですが。 問題の図は添付します。 【問題】 △ABCは直角三角形(∠A=90°) AE=EB、BF=FC、AD⊥BC ∠ABC=40°、ACB=50° 上記のとき ∠DEFは何度か? 【私の解答】 答え10°(たぶん) AE=EBよりAE:EB=1:1 BF=FCよりBF:FC=1:1 E、FはそれぞれAB、BCの中点になるのでAC//EF。 ∠ABC=40°∠ACB=50°でAC//EFなので同位角で ∠BEF=90°∠EFB=50° 線分ADの条件で ∠ADC=90°より ∠DAC=40°、∠DAE=50° *ここから∠AED=50°、∠EDF=40°になる理由がわかりません。 *なるということはEA=EDとなると思うのですがその理由がわかりません。 そこの導きを解説して頂けますとありがたいです。 よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学Iで分からない問題があります
角C=90度である直角三角形ABCにおいて、角A=θ、AB=aとする。 頂点Cから辺ABに下ろした垂線をCDとするとき、次の線分の長さをa、θを用いて表せ。 (1)BC (2)AC (3)AD (4)CD (5)BD この問題が分かりません。 どなたか詳しく解説していただけないでしょうか?お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 中学レベルの図形問題
二等辺三角形の性質の応用問題です。 三角形ABCがあって、 Aが頂点、底辺BCの間にDがあります。 AC=BC AB=AD=DC のとき、角Cは何度かという問題で、 36度というのが答えなのですが、 どのようにして36度が導出できるのか教えて下さい。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 図形について教えてください。
円に内接する四角形ABCD があり、AB=10、AD=8、角度BAC=角度DACである。また、ACとBDの交点をEとし、AE=4である。 この問題で、BC=CDになると言われたのですが、どうしてそうなるのかわからないので教えてもらえませんか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校数学の長さと角度の問題です 3-5
ABを斜辺とする直角3角形ABCがある 辺AC上に頂点A,Cと異なる任意の点Pを取るとき、次の不等式が成り立つことを示せ (AB-BP)/AP>(AB-BC)/AC 解説はAB上に点D,EをBD=BC,BE=BPとなるようにとるとAB-BP=AE(1) AB-BC=AD(2) AB上に点FをPF//CDとなるようにとると、∠PFB<∠PEBだから EはBとFの間にある、したがって AE/AP>AE/AP=AD/ACよって(1)(2)から題意は証明された とあるのですがAB上に点FをPF//CDとなるようにとると、∠PFB<∠PEBだからとありますが何故 ∠PFB<∠PEBだからと言えるのでしょうか?∠PFB>∠PEBとなる事もあり得ませんか? それとAE/AP>AE/AP=AD/ACこれも何故言えるのか分かりません、この分数は何を表しているのですか?最後の等号の所も何で成り立つのか分かりません
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 角度を求める問題です
角Bが直角で辺ABが辺ACより長い直角三角形ABCがある。辺AB上にAM=BCとなるMをとり、BC上にCN=MBとなるNをとる。ANとMCを結び交点をPとするとき角APMを求めよという問題です。答えは45°になりそうですが解法がひらめきません。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学Aについての平面図形の問題です。至急よろしくお願いします。
問.AB=16、BC=14、AC=12である三角形ABCにおいて、 角Aの二等分線と辺BCとの交点をDとする。DCの長さを求めよ。 この問題について説明しなければならないので、二つ質問させていただきます。 (1)まず、BD:DC=AB:ACがわかります。 何故このようになるのかは、定理の「ADが角Aの二等分線で、点Dが辺BCをAB:ACに内分するから」という説明で正しいですか? (2)DCの長さは、比から DC=3/7BC =3/7×14 =6 ですが、何故3/7BCで求まるのですか? 説明は「BD:DCが4:3だから」ではダメですか? どうか今日中によろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
なるほど,確実に数I~IIのレベルでしたね。 ところで今日答えがわかりまして,やはり問題が間違っていたようです。 まず,角ADCが110度であること,そしてBD=ACではなく, BC=ACでした。 わかったとたん,なんだか脱力してしまいました。 いろいろと解法を考えていただいた皆さんに感謝します。 どうもありがとうございました。