角度を求める問題です

質問

角Bが直角で辺ABが辺ACより長い直角三角形ABCがある。辺AB上にAM＝BCとなるMをとり、BC上にCN＝MBとなるNをとる。ANとMCを結び交点をPとするとき角APMを求めよという問題です。答えは４５°になりそうですが解法がひらめきません。よろしくお願いします。

回答No.2

staratras · ベストアンサー

全然エレガントでなくて恐縮ですが、座標を使ったら計算だけで解けます。直角三角形ＡＢＣのＡをＹ軸上、Ｂを原点、ＣをＸ軸上にとり、A（0,a) C(c,0)と座標を定める。（ａ＞ｃ）

すると問題の条件より、AM=BC=ｃよりM（0,a-c)だから CN=MB=a-c
BN=BC-CN=c-(a-c)=2c-a　Ｎ（2c-a,0)となる。

直線ＭＣの傾き　ｍ=(c-a)/c
直線ＡＮの傾き　ｍ’=a/(a-2c)

この２直線のなす角をθとすると、途中の計算は省略していますが
tanθ=±（m’-m）/（1+mm’）＝±（a^2+2c^2-2ac）/(-a^2-2c^2+2ac)
　　=±１　

よって角ＡＰＭ＝２直線のなす角（の鋭角のほう）＝４５°

お礼

エレガントな解法がそれはよりいいでしょうがとりあえずわかってすっきりしました。これで十分です。ありがとうございました。

回答No.1

noname#45379

＞角Bが直角で辺ABが辺ACより長い直角三角形ABC
すでに不能～

補足

ごめんなさい。角Bが直角で辺ABが辺BCより長い直角三角形ABCの誤りです。