解けそうで解けない図形の問題
- 高校のとき、数学教員室の前に「暇な人はやってみてください」という形で図形の問題が書かれていました。
- 三角形ABCがあり、角Aは20°、角DBCは50°、角ECBは60°です。
- 辺BCとのなす角が50°であり、辺BCとはBで交わる直線の辺ACとの交点をDとし、辺BCとのなす角が-60°であり、辺BCとはCで交わる直線の辺ABとの交点をEとします。
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解けそうで解けない図形の問題
高校のとき、数学教員室の前に「暇な人はやってみてください」という形で図形の問題が書かれていました。いろいろな部分の角度は求まるのですが、肝心な角度は一向に求まる気配がありません。できれば、高校までで習う知識で教えてください。 以下問題です。(説明が下手なので、分らないければ補足要求してください) 三角形ABCがある。AB=ACであり、角Aは20°である。 辺BCとのなす角が50°で、かつ辺BCとはBで交わる直線の辺ACとの交点をDとする。(角DBC=50°) また辺BCとのなす角が-60°で、かつ辺BCとはCで交わる直線の辺ABとの交点をEとする。(角ECB=60°) このとき角DECを求めよ。
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これは有名な問題で、どんな定理を使うのかなかなか気が付きません。 大雑把な説明です。 辺AB上に∠PCB=20°となるような点Pをとる。 すると、 BC=PC=PD=PE ∠CPD=60° がいえる。 つまり、点Pは三角形CDEの外接円の中心となる。 弧CDに対する中心角が∠CPD=60°なので 同じ弧に対する円周角である∠CEDは、その2分の1で ∠DEC=30° ブラウザによってはCがOに見えるかもしれませんが、全部Cです。
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- fronteye
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#1です。 >皆さん、普通に思いつくんでしょうか まあ、思いつく人は少ないでしょう。 私も高校時代この問題を友人から出題され、数日考えたが解けず結局図書館で調べました。 この補助線を引いた人はおそらく、AE=EC、BC=CDはすぐに分かるので「もうひとつ二等辺三角形を作ったらどうなるだろう」といった発想からではないでしょうか。
お礼
なるほど。すっきりしました 回答ありがとうございました
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お礼
おぉ、解けました。 けれど、 >>辺AB上に∠PCB=20°となるような点Pをとる これって、普通、思いつかないと思うんですが……(^-^;) 皆さん、普通に思いつくんでしょうか