図形の問題です

質問

△ＡＢＣの辺ＡＢを2:１に内分する点をＤ、辺ＡＣを3：1に内分する点をＥとする。直線ＤＥとＢＣの交点をＰとする。 (1)ＤＰ：ＰＥを求めよ。この問題でメネラウスの定理を使うようですがそれがわかりません。どなたか教えてください。

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

＞(AD/DB)*(BP/PC)*(CE/EA)=1
(2/1)*(BP/PC)*(1/3)=1
PC/BP=2/3
PC/CB=PC/(BP-PC)=(PC/BP)/(1-PC/BP)
=(2/3)/(1-2/3)=(2/3)/(1/3)=2/1
(PC/CB)*(BA/AD)*(DE/EP)=1
(2/1)*(3/2)*(DE/EP)=1
DE/EP=1/3
DP/PE=(DE+EP)/EP=DE/EP+1=(1/3)+1=4/3
よってDP:EP=4:3・・・答

お礼

ご回答ありがとうございます。書いてくださったものを見ながら、改めて自分で書きながら解いてみました。感謝いたします。

回答No.2

noname#215361

「メネラウスの定理」を知りませんので、ベクトルで考えます。

ベクトルABをa、ベクトルACをｂとすると
ベクトルDE=（3/4）b-（2/3）a
ベクトルAP=ベクトルAD+ベクトルDP=ベクトルAD+m*ベクトルDE（mは定数）とおけるので
ベクトルAP=（2/3）a+m{（3/4）b-（2/3）a}=（2/3）（1-m）a+（3/4）ｍb-(1)
また、ベクトルAP=a+ベクトルBP=a+n*ベクトルBC（nは定数）とおけるので
ベクトルAP=a+n*（b-a）=（1-n）a+nb-(2)
(1)(2)において、それぞれのベクトルの係数は等しくなるので
n=（3/4）ｍ→1-n=1-（3/4）ｍ
（2/3）（1-m）=1-（3/4）m→m=4
よって、ベクトルDP=4*ベクトルDEとなるのでDP：PE=4：3

お礼

ご回答ありがとうございます。当方高1のため、メネラウスの定理で解かなければならないとの事です。ただ丁寧なご回答も今後のために参考にさせていただきます。感謝いたします。