メネラウスの定理を使う図形の問題?

質問

宜しくお願い致します。

[問]半直線BX、半直線BY(X、Yの方に線は伸びている)があります。

BX上に点Aがあり、BY上に点Cがあります。

∠ABCの2等分線と線分ACとの交点をQ、
∠ACBの2等分線と線分ABとの交点をR、
∠CAX(△ABCの外角)の2等分線と線分CYとの交点をPとすると

(1) P、Q、Rは同一直線上にある事を示せ。
(2) PQ/PR=(BC+CA)/(BC+AB)となる事を示せ。

という問題なのですが(1)は

BP/CP・CQ/AQ・AR/BR=1より、メネラウスの定理の逆から示される事は分かったのですが
(2)はどうするのか分かりません。
どうすれば示せるのでしょうか?

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

#1です。#1の最初に書いたような理由から
BR:RA=BC:CA
となります。したがって、
BR:(BR+RA)=BC:BC+CA
BR/(BR+RA)=BC/(BC+CA)
となることが分かります。

同様に、AB:CA=BP:PCからBP/(BP-PC)=AB/(AB-AC)

したがって、
(BP/(BP-PC))*BC:(BR/(BR+RA))*AB
=(AB/(AB-CA))*BC:(BR/(BR+RA))*AB
=(AB/(AB-CA))*BC:(BC/(BC+CA))*AB
となります。

お礼

有難うございます。
お陰さまで漸く解決できました。ｍ(＿ ＿)ｍ

回答No.1

eatern27

三角形ABCにおいて、∠BACの二等分線(※)と直線BCの交点をPとしたとき、
BA:AC=BP:PC
が成り立ちます。
なお、これは、※が、外角の二等分線であっても成り立ちます。

(1番が分かっているということなので、ご存知とは思いましたが、2番はこれしか使わないので、何となく書きました)

図書けず、文章でごたごた書いてもかえって分かりにくいので、略解のみ。分からない点があれば補足を。

PQ:QR
=BP:BR
=(BP/(BP-PC))*BC:(BR/(BR+RA))*AB
=(AB/(AB-CA))*BC:(BC/(BC+CA))*AB
=BC+CA:AB-CA

PQ:PR
=PQ:PQ+QR
=BC+CA:BC+AB

PQ/PR=(BC+CA)/(BC+AB)

補足

ご回答大変ありかどうございます。

> =(BP/(BP-PC))*BC:(BR/(BR+RA))*AB
> =(AB/(AB-CA))*BC:(BC/(BC+CA))*AB
これは多分、
BR:AB-AC=BP:AC+BC
(つまり、BR/(AB-AC)=BP/(AC+BC))
からいえるのでょうけど
これは何故いえるんですかね?