わからない図形の問題

質問

すいません、大学で明日数学のテストがありまして、次の問題がでるかもしれないのですが解きかたがわかりません。教えてください。
鋭角三角形ABCで線分AB上、BC上、CA上にそれぞれ点P、Q、Rをとります。このとき、PQ＋QR＋RSが最小になるようなP、Q、Rはどのような位置にあるか？？
（僕の直感としては、P、Q、Rが線分の中点になるときちゃうかなとか思うのですが、証明できないです）

回答No.4

kony0 · ベストアンサー

答えは#3さんと同じです。でも方法は違いそう？

理由は
・まずQを適当に固定した場合の最小問題を考える
・折れ線の最小問題のKEYWORDとして、「点対称な点をとって考えよう」
　ということで、AB, ACに関してQと対称な点をそれぞれQ', Q"とします。
→これでQ'P+PR+RQ"を最小にする問題に変身しました。

（中略：ヒントは△AQ'Q"がどんな図形か考えてみましょう）

・さて、先ほど固定していたQを動かしてみましょう。
　このとき、最終的にPQ+QR+RSが最小となるためには、（中略）の内容を踏まえると、AQが最小となればよい。
・したがって、QはAからBCにおろした垂線の足となる。（以下略）

ちなみにこの問題、昔塾で教えていた問題です。大学のテストで出るんだぁ・・・

お礼

△AQ'Qは二等辺三角形ですよね？で、頂角が一定になるから、AQ'とAQ"、つまりはAQが最小となるときPQ+QR+RPが最小となる、というところでしょうか？
大学といっても文系の生徒の、教養のための数学ってかんじのです。

回答No.3

eatern27

＃２です。
閃いた・・・と思ったら、昔何処かで見た気がしてきました。

結論
各頂点から向かい合う辺に下ろした垂線の足がＰ,Ｑ,Ｒのとき

証明は、#2に書いた通りの方針でもいいですが、幾何的にも解けます。が、書く時間がないので、自分で考えてください。

要は、△ＡＥＦに注目すると、ＡＥが最小の時にＥＦも最小になることが分かります。
ＡＥが最小になるのは、ＥがＡからＢ’Ｃに下ろした垂線の足の時

という流れです。
(Ｅなどの大雑把な位置関係は#2に準じたものと思って下さい)

回答No.2

eatern27

∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃの中に６０°以下のものが存在する。それを∠Ａとしよう。

辺ＡＢに関してＣと対称な点をＣ’
辺ＡＣに関してＢと対称な点をＢ’

Ｂ’Ｃ上に点Ｅを、ＢＣ’上に点Ｆを
Ｂ’Ｅ：ＥＣ＝ＢＦ：ＦＣ’＝t:1-t
を満たすようにとる。

ここで、ｔ＝ｓの時に、ＥＦが最小になるとしよう。

ＢＱ：ＱＣ＝s:1-s
ＥＦとＡＢ，ＡＣとの交点をＰ，Ｒ

とした時にＰＱ＋ＱＲ＋ＲＳ(＝ＥＦ)は最小になると思います。

具体的に何処？、と聞かれると、考えてないので分かりませんが。(考えても分からないかも・・・)

あと、この考え方からすると、一般的には、Ｐ，Ｑ，Ｒは各辺の中点にもならないし、内接円の接点にもならないような気もします。

お礼

なるほど、対称となる点E、Fをとる発想が素晴らしいですね。

回答No.1

m770

>直感としては、P、Q、Rが線分の中点になるときちゃうかなとか思う

　残念ながら、この予想は外れています。
　一例を挙げると、角Ａが１０度、角Ｂ，角Ｃが８５度の細長い三角形を考えてみて下さい。線分の中点を結ぶより、線分ＢＣの中点Ｑを頂点とする正三角形を作った方が小さい値になります。

　自分の予想は、角Ａ，角Ｂ、角Ｃの二等分線の交点（内心）を中心とする内接円の接点をＰ、Ｑ，Ｒに取ったときではないかと思いますが、証明は出来ません。

お礼

お返事ありがとうございます。そうですね、
僕の予想は軽率でした。