青チャート 基本例題７０（メネラウスの定理と逆の証明）

質問

青チャート問題がよくわかりません。

問題
平行四辺形ＡＢＣＤ内の１点Ｐを通り、各辺に平行線を引き、辺ＡＢ、ＣＤ、ＢＣ、ＤＡとの交点を順にＱ、Ｒ、Ｓ、Ｔとする。２直線ＱＳ、
ＲＴが点Ｏで交わる時、３点Ｏ、Ａ、Ｃは１つの直線上にあることを示せ。

解説
△ＰＱＳと直線ＯＴＲについて、メネラウスの定理により
ＱＲ/ＲＰ・ＰＴ/ＴＳ・ＳＯ/ＯＱ＝１
ＰＴ＝ＡＱ、ＴＳ＝ＡＢ、ＱＲ＝ＢＣ、ＰＲ＝ＣＳであるから
ＢＣ/ＣＳ・ＡＱ/ＡＢ・ＳＯ/ＯＱ＝１
すなわちＱＡ/ＡＢ・ＢＣ/ＣＳ・ＳＯ/ＯＱ＝１
よって、メネラウスの定理の逆により、３点Ｏ、Ａ、Ｃは１つの直線上にある。

教えてほしい点
ＢＣ/ＣＳ・ＡＱ/ＡＢ・ＳＯ/ＯＱ＝１とＱＡ/ＡＢ・ＢＣ/ＣＳ・ＳＯ/ＯＱ＝１
はどの三角形と直線に関して言っているということ

教えて下さい。　お願いします。

回答No.2

htms42 · ベストアンサー

＞ＢＣ/ＣＳ・ＡＱ/ＡＢ・ＳＯ/ＯＱ＝１　　（１）
＞ＱＡ/ＡＢ・ＢＣ/ＣＳ・ＳＯ/ＯＱ＝１　　（２）
＞はどの三角形と直線に関して言っているかということ

（１）（２）は同じものです。
（１）は
ＱＲ/ＲＰ・ＰＴ/ＴＳ・ＳＯ/ＯＱ＝１
を平行四辺形と平行線の関係を使って書き直したものです。
それをメネラウスの定理が使えるように書き直したものが（２）です。

（２）ではＱ→Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｓ→Ｏ→Ｑと順番にたどって元に戻るようになっています。
三角形はＱＢＳです。Ａ、Ｃ、Ｏは△ＱＢＳの辺（またはその延長線）との交点です。（２）が成り立てばＡ、Ｃ、Ｏが直線上にあることが言えます。

ＢＣ/ＣＳ・ＡＱ/ＡＢ・ＳＯ/ＯＱ＝１　　（１）
を書き直すときに頭はそのままで
ＢＣ/ＣＳ・ＳＯ/ＯＱ・ＱＡ/ＡＢ＝１　　（１）
とした方がわかりやすかったのではないかとも思います。

お礼

誠にありがとうございます。
理解することができました。

回答No.1

noname#108210

>ＢＣ/ＣＳ・ＡＱ/ＡＢ・ＳＯ/ＯＱ＝１と
>ＱＡ/ＡＢ・ＢＣ/ＣＳ・ＳＯ/ＯＱ＝１
>はどの三角形と直線に関して言っているということ

△ＱＢＳについて述べている。
因みに、ＱＡ/ＡＢ・ＢＣ/ＣＳ・ＳＯ/ＯＱ＝１　の書き出しの
文字Q,B,Sに着目すると良い。

お礼

ありがとうございました。
助かりました。