• 締切済み

図形

AB=6、AC=3、∠A=120度の△ABCにおいて、∠Aの2等分線と辺BCとの交点をDとし、△ABCの外接円と直線ADのA以外の交点をEとするとき、DEの長さを求める方法を教えてください △ABCを余弦定理で求めると (BC^2)=(6^2)+(3^2)-2*3*6*(cos120度) =63 BC=3√7 までは考えたのですがその後が分かりません

みんなの回答

回答No.3

参考URLの上から二つ目をご覧下さい。 【円周角の定理2】 1つの弧に対する円周角の性質を表しています。1つの弧に対する円周角をどのようにとっても,大きさはすべて等しいです。 いかがでしょうか?

参考URL:
http://www2.edu.ipa.go.jp/gz/e1math/e1zuke/e1zuk5/IPA-mat510.htm
boku115
質問者

補足

円周角の件はわかりました どのように考えるのですね納得しました。 BD=2√7 DC=√7 の件なのですが BD=(6/3)DCから求めているのでしょうか? <3^2+AD^2-2×3×AD×Cos(60°)=(√7)^2 から AD=1or2 の2つの解がでることが分かりません なんとなくなのですが △DBCと△DCEが相似じゃないかな?と思います。 ∠BAE=∠DCEが60ドなので 相似は2角が証明できれば表されるのですが BEDは何度か分からい 相似でも可能ですか?

すると、全ての回答が全文表示されます。
回答No.2

どうか図を書きながら読んで下さい。 まず問題文をそのまま図にし、BC=3√7までかけましたでしょうか? 直線ADは角Aの二等分線なので、角BAD=角CAD=60°となります。 また、円に内接する四角形の対角の和は180°なので、角BECは 120°+角BEC=180° ∴角BEC=60° また、円周角は等しいので、 角EAC=角EBC=60° 角EAB=角BCE=60° よって三角形BCEは全ての角度が60°なので正三角形となります。ところで、BC=3√7ですので、 BE=CE=3√7となります。 ところで、直線ADは角Aの二等分線なので、 AB:AC=BD:DC=6:3 よって BD=2√7 DC=√7 となります。ここでADの長さを考えます。 三角形ACDにおける余弦定理より、 3^2+AD^2-2×3×AD×Cos(60°)=(√7)^2 これよりAD=1or2 これだけでは確定しないので、 三角形ABDにおける余弦定理より、 6^2+AD^2-2×6×AD×Cos(60°)=(2√7)^2 これよりAD=2or4 以上より、AD=2と確定します。 ところで、三角形ACEにおける余弦定理より 3^2+AE^2-2×3×AE×Cos(60°)=(3√7)^2 これよりAE=6or9 同様に三角形ABEにおける余弦定理より 6^2+AE^2-2×6×AE×Cos(60°)=(3√7)^2 これよりAE=3or9 よってAE=9と確定します。 以上より、求めたい辺の長さDEは、 DE=AE-AD   =9-2   =7 となります。 いかがでしょうか。

boku115
質問者

補足

丁寧な説明どうもありがとうございます 円周角は等しいので、 角EAC=角EBC=60° 角EAB=角BCE=60° なのですが、中心角が分からないのにどうして円周角が等しいとわかるのですか?

すると、全ての回答が全文表示されます。
  • debut
  • ベストアンサー率56% (913/1604)
回答No.1

弧BEに対する円周角だから、∠BAE=∠BCE=60°・・・(1) 四角形ABECは円に内接するから、∠BAC+∠BEC=180°より、 ∠BEC=60° したがって、∠EBCも60°、つまり、△BECは正三角形。 よって、CE=3√7・・・(2) また、ADは角の二等分線だから、BD:DC=AB:ACとなるので (これは図形の1つの性質です。BAをAの方へ延長し、CからEAに  平行に引いた直線との交点をFとして、同位角・錯角がひとしいこと  からAC=AFがいえ、△BAD∽△BFCからBD:DC=BA:AF  =BA:AC) BD:CD=6:3=2:1。BCの3√7を2:1に分けた1の方が CDだから、CD=√7・・・(3) (1)(2)(3)を使って余弦定理を使えば、DEが求まります。

すると、全ての回答が全文表示されます。

関連するQ&A