ベクトルの問題です。教えてください！

質問

三角形ABCにおいてAP=２/５AB+１/５ACとなる点Pをとる。
直線APと辺BCとの交点をQとする。直線BPと辺ACとの交点D、
直線CPと辺ABとの交点をEとし、直線DEと直線BCとの交点をKとし
AKをABとACで表せ。
ベクトルは省略します。

解き方が分かりません。
詳しく解説していただけると嬉しいです。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞三角形ABCにおいてAP=２/５AB+１/５ACとなる点Pをとる。
＞ 直線APと辺BCとの交点をQとする。直線BPと辺ACとの交点D、
＞ 直線CPと辺ABとの交点をEとし、直線DEと直線BCとの交点をKとし
＞ AKをABとACで表せ。
AD：DC＝ｔ：1－tとおくと、
BD＝(1－t）BA＋tBC＝(t－1)AB＋t(AC－AB)
＝－AB＋tAC　
B,P,Dは一直線上にあるから、BP＝k1・BD　とおける。
BP＝-k1・AB＋(k1・t)AC　……(1)
BP＝AP－AB＝(2/5)AB＋(1/5)AC－AB
＝(-3/5)AB＋(1/5)AC　……(2)
(1)(2)より係数比較すると、
-k1＝-3/5，　k1・t＝1/5　を連立で解くと、
k1＝3/5，t＝1/3
よって、AD：DC＝1/3：2/3＝1：2より、
AD＝(1/3)AC　……(3)

AE：EB=s：1－sとおくと、
CE＝(1－s)CA＋sCB＝(s－1)AC＋s(AB－AC)
＝sAB－AC
C,P,Eは一直線上にあるから、CP＝k2・CE　とおける。
CP＝(k2・s)AB－k2・AC　……(4)
CP＝AP－AC＝(2/5)AB＋(1/5)AC－AC
＝(2/5)AB－(4/5)AC　……(5)
(4)(5)より係数を比較すると、
k2・s＝2/5，　－k2＝-4/5　を連立で解くと、
k2＝4/5，s＝1/2
よって、AE：EB＝1/2：1/2＝1：1より、
AE＝(1/2)AB　……(6）

D,E,Kは一直線上にあるから、DK＝m1・DE　とおける。
AK－AD＝m1(AE－AD)＝m1・AE－m1・AD　より、
AK＝(1－m1)AD＋m1・AE
(3)(6)より、
AK＝(1/2)m1AB＋(1/3)(1－m1)AC　……(7)

B,C,Kは一直線上にあるから、BK＝m2・BCとおける。
AK－AB＝m2(AC－AB)＝m2・AC－m2・AB　より、
AK＝(1－m2)AB＋m2・AC　……(8)
(7)(8)より、係数を比較すると、
(1/2)m1＝1－m2，　(1/3)(1－m1)＝m2　
m1＝2－2・m2，1－m1＝3・m2　を連立で解くと、
m1＝4，　m2＝-1
(7)か(8)に代入して、
よって、AK＝2AB－AC　

図は正確に描けないので、問題の条件から計算で求めました。
出てきた答えをもとにして問題文のような図がかければ、
正解かどうか確かめられると思います。

回答No.2

yyssaa

＞ベクトルAPを↑AP、↑APの大きさをAPと書きます。
s,tを実数として↑AQ=s↑AP=↑AB+↑BQ=↑AB+t↑BCとすると、
s↑AP=(2s/5)↑AB+(s/5)↑AC、t↑BC=t(↑AC-↑AB)だから
(2s/5)↑AB+(s/5)↑AC=(1-t)↑AB+t↑AC、両辺の係数を比較
2s/5=1-t、s/5=t、連立で解いてs=5/3、t=1/3
よって、AQ=(5/3)APだからPQ/AP=(AQ-AP)/AP=2/3
BQ=(1/3)BCだからBC/CQ=BC/(BC-BQ)=BC/{BC-(1/3)BC}=3/2
△ABCにメネラウスの定理を適用して(AE/EB)*(BC/CQ)*(PQ/AP)=1
すなわち(AE/EB)*(3/2)*(2/3)=1からAE/EB=1/1。
△ABCにチェバの定理を適用して(AE/EB)*(BQ/QC)*(CD/AD)=1、
すなわち(1/1)*(1/2)*(CD/AD)=1からCD/AD=2/1。
↑DE=↑AE-↑AD↑=(1/2)↑AB-(1/3)↑AC
u,vを実数として↑DK=u↑DE、↑DK=↑DC+v↑CB=↑DC-v↑BC
とすると、↑DK=u↑DE=(u/2)↑AB-(u/3)↑AC
↑DK=↑DC-v↑BC=(2/3)↑AC-v{↑AC-↑AB}=(2/3-v)↑AC+v↑AB
(u/2)↑AB-(u/3)↑AC=(2/3-v)↑AC+v↑AB、両辺の係数を比較
u/2=v、-u/3=2/3-v、連立で解いてu=4、v=2
よって↑DK=(4/2)↑AB-(4/3)↑AC=2↑AB-(4/3)↑AC
↑AK=↑AD+↑DK=(1/3)↑AC+2↑AB-(4/3)↑AC=2↑AB-↑AC・・・答

お礼

分かりやすい回答ありがとうございます！
とても助かりました。