ベクトルの問題について教えて下さい

質問

平面上に4点A、B、C、Pがあり、
↑AB=2、↑AC=4、↑AB・↑AC=2、

↑AP+4↑BP+3↑CP=↑0が成り立っています。

また、ACの中点をD、△ABCの面積をS1、
△BDPの面積をS2とするとき、
次の問いに答えてください。

1.↑BC = ? S1= ?

2.△ABCの内接円の中心をI、
半径をrとするとき、
r= ? ↑AI= ? ↑AB+ ? ↑AC

3.APを延長し、直線BCと交わる点を
Eとしたとき、
EC/BE=?

4.↑DP=? ↑DP・↑DB=? であり、
S2/S1=1/? が成り立つ

どのような図形で考えたかも
教えていただけると嬉しいです。

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

＞↑AB=2、↑AC=4、↑AB・↑AC=2
が与えられているので、点Aを位置ベクトルの始点（この言葉が正しいかちょっと？です。すみません。要は点Aを中心にベクトル表示して考えていきましょうと言うことです）とする。

ちなみに、|AB|=2,|AC|=4ということですね。

以下、ベクトル記号は省略。
まずは適当に三角形ABCを書いて置いてください。まだPはどこにあるかはわかりません。
(1)ベクトルの引き算がさっと言えるようにしましょう。
　BC=AC-AB（点Aを始点に今しているからこうなります。図をかけば理解できますが、慣れてくれば当た　　　　　　り前になります。）
　|BC|^2=|AC|^2-2AB・AC+|AB|^2=4^2-2*2+2^2=16
∴|BC|=4・・・答え

＞、△ABCの面積をS1
AC=4,BC=4より△ABCは二等辺三角形。点Cより垂線を線分ABに下ろし高さを三平方の定理で求めると、
高さ＝√15となる。よってS1=(1/2)*AB×高さ=(1/2)*2*√15=√15・・・答え

(2)
＞2.△ABCの内接円の中心をI、
＞半径をrとするとき、
＞r= ? ↑AI= ? ↑AB+ ? ↑AC
まず半径rを求めます。
S1=△IAB+△IBC+△IAC
　=(1/2)*AB*r+(1/2)BC*r+(1/2)AC*r
　=√15　（∵(1)の結果より）

AB=2、AC=4、BC=4を代入して整理すると、
r=√15/5・・・答え

次にAIをきめます。
線分AIを延長して線分BCと交わる点をRとする。
内心の性質より∠BACの２等分線が線分ARになるから、
角の２等分の性質より、BR:RC=AB:ACが成り立つ。よってBR:RC=2:4=1:2
AR=(2AB+AC)/3 （∵内分の公式）
点Iは線分AR上にあるから、
AI=tAR=(2t/3)AB+(t/3)AC （tは実数）・・・(1)
また、上記と同様に∠CABの２等分線を考えると、
AI=AB+BI=AB+s{(BC+2BA)/3} （sは実数）
=AB+s{{AC-AB)-2AB)/3}=(1-s)AB+(s/3)AC・・・(2)
ABとACは１次独立なので、それぞれの係数を比較して
2t/3=1-s,t/3=s/3
連立方程式を解くとs=t=3/5
よって(1)にt=3/5を代入して
AI=(2/5)AB+(1/5)AC・・・答え

(3)
＞3.APを延長し、直線BCと交わる点を
＞Eとしたとき、
＞EC/BE=?

＞↑AP+4↑BP+3↑CP=↑0が成り立っています。
今位置ベクトルの始点をAとしていますから、全部始点Aからのベクトル表示になおします。
この式変形の結果点Pがどこにあるのかがわかります。
式の変形にはここでもベクトルの引き算の公式を使います。（機械的にやれるようにしてください）
AP+(AP-AB)+3(AP-AC)=0
5AP=AB+3AC
AP=(AB+3AC)/5
題意よりAE=tAP=(t/5)AB+(3t/5)AC
また、BE:EC=s:1-sとおくと、
内分の公式よりAE=(1-s)AB+sAC
AB,ACは１次独立だから軽水を比較して
t/5=1-s,3t/5=s
連立方程式を解いてs=3/4
∴BE:EC=3/4：1/4=3:1
EC/BE=1/3・・・答え

(4)
＞4.↑DP=? ↑DP・↑DB=? であり、
＞S2/S1=1/? が成り立つ
DP=AP-AD=(AB+3AC)/5-(1/2)AC （∵点DはACの中点）
=(1/5)AB+(1/10)AC
|DP|^2=(1/25)*4+2*(1/50)*2+(1/100)*16
|DP|=√10/5・・・答え

DP・DB=(AP-AD)・(AB-AD)=(AP・AB)-(AP・AD)-(AD・AB)+|AD|^2
=2/5・・・答え

|DB|^2=|AB-AD|^2=|AB-(1/2)AC|^2=6
よって|DB|=√6

DP・DB=|DP||DB|cosθ
2/5=√10/5*√6cosθ
cosθ=1/√15
sin^2θ=1-cos^2θ=1-(1/15)=14/15
sinθ=√(14/15)

S2=(1/2)DP*DBsinθ=(1/2)*(√10/5)*√6*√(14/15)=√14/5

∴S2/S1=√14/5÷√15=1/(5√(15/14))・・・答え

ちょっとさいごぐだぐだになって計算あってる自信ないので自分で確認してください。
解説も計算もかなり後半は略したので、文間は自分で考えてみてください。
図は適時適当な図を描いています。

以下、ポイントを書き出します。
１）ベクトルの引き算
２）位置ベクトルの理解（今回は点Aを位置ベクトルの始点にしました）
３）ベクトルの内分の公式の理解
４）内積の理解、計算方法
５）三角形の面積の公式
等を使いました。どれも重要ですが、特に１，２，３を使いこなせるようになればこの手の問題は機械的にサクサクやっていけます。４，５は定義等を覚えて使えるようにするだけですからそんなに難しくはないはずです。
この問題が十分理解できればベクトルの基礎的な土台ができていると自信を持っていいです。
頑張って自分で手を動かして解いてみてください。

お礼

とても丁寧な回答ありがとうございます！解説も分かりやすく自分でも導くことができそうです！