ベクトルの問題

質問

△ABCにおいて、ABベクトル=bベクトル、ACベクトル＝ｃベクトルとし、△BCP、△CAP、△ABPの
面積を、それぞれS1、S2、S3とする。点Pは△ABCの内部にある。
S1：S2：S3＝2：3：4のとき、APベクトルをbベクトル、ｃベクトルで表せ。

まったくわかりません。よろしくお願いします。

回答No.2

alice_44

→AP = x(→AB) + y(→AC) と置いて、
S1,S2,S3 を x,y の式で表せばよいです。
△ABC = (1/2)｜(→AB)×(→AC)｜ ですから
その何倍になるか。
S3 = (1/2)｜(→AB)×(→AP)｜
= (1/2)｜(→AB)×｛ x(→AB) + y(→AC) ｝｜
= x(1/2)｜(→AB)×(→AB)｜ + y(1/2)｜(→AB)×(→AC)｜
= 0 + y△ABC
S1,S2 も同様にやれば、面積比の式が立てられて、
x,y の連立方程式が得られます。

回答No.1

nattocurry

APの延長線と辺BCの交点をDとすると、
BD：DC
＝△ABD：△ADC
＝△ABD×(AP／PD)：△ADC×(AP／PD)
＝△ABP：△APC
＝S3：S2
＝4：3

同様に、
BPの延長線と辺CAの交点をE、CPの延長線と辺ABの交点をFとすると、
CE：EA＝2：4＝1：2
AF：FB＝3：2

あとは、
AFベクトル、FCベクトル、AEベクトル、EBベクトルを、bベクトルとcベクトルで表し、

APベクトル＝AFベクトル＋sFCベクトル
APベクトル＝AEベクトル＋tEBベクトル
としてsとtを求めればよい。