ベクトルの問題について教えて下さい

質問

△ABCの内部に4AP↑＋3BP↑＋2CP↑＝0↑を満たす点Pがある。

(1)AP↑＝(ア)AB↑＋(イ)AC↑となるから、APを延長した直線とBCとの交点をDとすると、AP：PD＝(ウ)：(エ)である。

(2)△ABCと△APBの面積をそれぞれS1、S2とすると、S1：S2=(オ)：(カ)である。

(ア)～(カ)には答えが入ります。

回答No.1

himajin100000 · ベストアンサー

4AP + 3BP + 2CP＝0
4AP + 3(AP - AB) + 2(AP - AC) = 0
9AP - 3AB - 2AC = 0
AP = (1/3)AB + (2/9)AC

ところで、辺AB上の点Dは実数kを用いて
0 <= k <= 1
AD = AB + k(AC - AB)
と表すことができ、
AD = (1 - k )AB + kAC
つまり、ABの係数とACの係数の和は1であると言える。

実数mを用いて
AD = mAP = (1/3)m AB + (2/9)mAC
とすると、
(1/3)m + (2/9)m = 1
(5/9)m = 1
よって
m = 9/5
だから
AD = (3/5)AB + (2/5)AC
ここから
k = 3 / 5
がわかり、BD:BC = 3:5

よって
AP:AD = 5 : 9
だから
AP:PD = 5 : 4
=================
同じ高さの三角形は底辺の比が面積比と等しいから
⊿APB : ⊿ADB = 5 : 9
⊿ADB : ⊿ABC = 3 : 5 = 9 : 15
よって
⊿ ABC:⊿APB = 15 : 5 = 3 : 1

回答No.3

himajin100000

>#2

すみません。おっしゃるとおりです。

回答No.2

htms42

＃１
ｋ＝３／５　ではなく　ｋ＝２／５　です。

ＡＰ = (1/3)ＡＢ + (2/9)ＡＣ
ですからＤはＡＢの中点よりもＢに近い方にあるはずです。
ｋ＜１／２のはずです。