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ベクトル計算問題の疑問です。

ベクトル計算問題の疑問です。 こんにちは。今日もよろしくお願いします_(._.)_ 平行四辺形ABCDの辺ABを2:3に内分する点をE、直線BDとECの交点をP、直線APと辺BCの交点をQとする。 AB(→)=a(→) AD(→)=b(→)とするとき、AP(→)をa(→),b(→)で表せ という問題で、解答を見ると、 点Pが直線BD上にあるから、BP:PD=s:1-s と、おくと、 AP(→)=(1-s)AB+sAD(→) =(1-s)a(→)+sb(→) 以下略・・・ となっていました。 ABとPDって別物なのに、どうして1-sという比が使えるのかがわかりません。 APを、AB+BP=AB+BP/BD・・・ と考えていこうとおもったのですが、わからなくなっちゃって。 教えてください。

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こんにちわ。 いきなり「BP:PD=s:1-s」としてもいいですが、次のような見方もあります。 点Pは直線BDにあるということは、 (1) まず、点Aから点Bまで進んで (2) 点BからBDに沿って、いくらか進む ことで到達することができます。 ざっくりとして言い方だと、「点Aから点Pに行くのに、点Bを経由しても同じAP→やん」ってことです。 (1)は AB→、(2)は s* BD→(sが「いくらか」を表している)と それぞれ表すことができ AP→ = AB→+ s* BD→ = AB→+ s* (BA→+ AD→) =(1-s)* AB→+ s* AD→ となります。 ベクトルは方向と大きさをあわせもった量なので、 「ある点を経由して進む」「直線に沿って進む(定数倍を使う)」という見方を組み合わせることで見やすくなることが多いです。

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質問者からのお礼

こんばんは。ご回答ありがとうございます。 なるほど・・・!まさか行ったABをまた、逆走するとは思いませんでした(笑 “いくらか”というのをsで置くんですね。勉強になりました´`* ありがとうございました!

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直線ADに並行で点Pを通る直線と、直線ABの交点をTとする。 直線CDに並行で点Pを通る直線と、直線ADの交点をUとする。 BPとPDの比を「s:1-s」とすると、 ATとTBの比は「1-s:s」 AUとUDの比は「s:1-s」 となる。 なぜなら、三角形BTP、三角形DPUは、どちらも、三角形ABDと相似であるから。 三角形BTPと三角形ABDが相似であるなら、BP:PD=BT:TA=AU:UD=s:1-sである(相似であれば、どの辺も比は同じ) AP(→)はAT(→)+AU(→)である。 AB:ATは1:1-sであるので、AT(→)は(1-s)AB(→)。 AD:AUは1:sであるので、AU(→)はsAD(→)。 従ってAP(→)は(1-s)AB(→)+sAD(→)。 AB(→)=a(→)、AD(→)=b(→)とすればAP(→)は(1-s)a(→)+sb(→)。

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質問者からのお礼

こんばんは。ご回答ありがとうございます~ 相似になるなんて吃驚です。凄い不思議。 補助線(TとUの線)あっても、多分気付けない・・・; 相似って合同と違って、勘では見つけにくいところが難しい。 こういう考え方もあるんですね。 理解できるまで時間がかかりそうですが、また考えてみたいと思います ありがとうございました!

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