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ベクトルの問題

この問題がわからないのでどなたか教えてください。 平面上に,1辺の長さがaの正三角形ABCと点Pがある。点A,B,C,Pの位置ベクトルをそれぞれa→,b→,c→,p→とし,点Pは 3p→=(1+t)a→+(1+2t)b→+(1-3t)c→(tは実数)という関係を保って動く。 (1)動点Pの軌跡はベクトル(ア)に平行な直線である。 (2)AP→をAB→,AC→を使って表すと    AP→=(イ)AB→+(ウ)AC→    となる。AP//BCとなるのは,t=(エ)のときで,このとき,4点A,    B,C,Pが作る台形の面積は(オ)である。

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  • oodaiko
  • ベストアンサー率67% (126/186)

問題では正三角形の1辺の長さはaとなっていますが点Aの位置ベクトルa→と 紛らわしいので回答ではrと書きます。 (1)Pの従う式を変形すると p→ =t(a→+2b→-3c→)/ 3 + (a→+b→+c→)/ 3 ……(*) となります。 すなわちp→はベクトル (a→+2b→-3c→)/ 3 に平行で 点 (a→+b→+c→)/ 3 を通る直線です。 (2)AP→ = p→ - a→ 、AB→ = b→ - a→ 、AC→ = c→ - a→ ですから上の式(*)の両辺から a→ を引いて 式を変形すると AP→ = p→ - a→ ={(1+2t)/3}(b→ - a→) + {(1 - 3t)}/3(c→ - a→) …… (**) = {(1+2t)/3} AB→ + {(1 - 3t)}/3 AC→ となります。 AP//BCとなるのは,ある実数kに対して AP = k BC = k(b→ - c→ ) となる場合です。そこで(**)の式で a→が0になるようにtを決めてやるとt=2 のときうまくこの形になって k= 5/3となります。 つまり線分APの長さは線分BCの長さの 5/3倍ですから (5r)/3 です 今線分APと線分BCは平行ですからあとは APとBCの距離、すなわち 下底BC上底APとする台形の高さ がわかればよいですね。 これは正三角形の頂点Aから底辺BCに引いた垂線の長さですから (r√3)/2 です。 よって台形BCPAの面積は (2r^2 √3)/3 となります。 (r^2 はrの2乗のことです) 細部の計算は御自分でチェックして下さい。

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  • alien55
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再びalien55です。うーーーーーん。一番乗りを目指したがちょっと遅すぎたか・・・・・!! oodaikoさん(専門家)のと本質的に変わらなっかので、安心しました。 私のはm,nをおきましたが、oodaikoさんは、AP=の式をそのまま変形しています((**)のところ)。もちろんこの方が エレガントだと思いますよ。APをABとACの一次結合で表せって言ってんだから、そのように変形していくのが一番賢い ですよね。私の方はベクトルを学んでまもない頃の「高校生向き」かな?

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  • 回答No.2
  • alien55
  • ベストアンサー率71% (20/28)

以下でa,b,c,p,AB,AC,AP,BC等はベクトルです。上に→を付けてね。また正三角形の一辺の長さはここでは大文字のAとしました。 (ア)は色々な答えが可能です。 [解答] (1)与えられた式3p=(1+t)a+(1+2t)b+(1-3t)cを変形して、       p=1/3(a+b+c)+1/3(a+2b-3c)t これは、動点Pが三角形ABCの重心を通り、ベクトル1/3(a+2b-3c)に平行な直線上を動くことを示す。 (2)AP=mAB+nAC・・・・(*)とする。すなわち、      p-a=m(b-a)+n(c-a) ⇔ p=(1-m-n)a+mb+nc ⇔1/3(1+t)a+1/3(1+2t)b+1/3(1-3t)c=(1-m-n)a+mb+nc これより、係数比較して、       1+t=3-3m-3n・・・・(1), 1+2t=3m・・・・(2), 1-3t=3n・・・・(3)  (2)、(3)より、         m=(1+2t)/3, n=(1-3t)/3 (→それぞれイ、ウの答え)  また、このm,nは(1)を満たす。   次に、AP//BCとなるのは、適当な実数kを用いて、AP=kBC すなわち、     AP=k(AC-AB)=-kAB+kAC となるときだが、これと(*)より、このときm=-k, n=kすなわち、      (1+2t)/3=-k, (1-3t)/3=k である。この2式からkを消去して、        1+2t+1-3t=0 ⇔ t=2 (エの答)  このとき、3p=3a+5b-5c ⇔ p-a=5/3(b-c) ⇔ AP=5/3CBだから、  点Aを通り辺CBに平行な直線を引いたとき、その直線上のAP=5/3CBとなる点(ただし辺ABに対し点Cとは反対側)  が点Pの位置である(実際に書いてみてください)。  台形ACBPの面積は線分AP、線分ACを隣り合う二辺とする平行四辺形の面積の4/3倍で、正三角形ABCの面積は  √3/4・A^(2)なので、求める面積はこれの8/3倍。すなわち、  2√3/3A^(2) (←オの答え)■ 以上ですが、ちょっと酔っ払いながら書いたのでどこかミスがあったら御報告下さい。 イとウは、このような穴埋め形式では表面的には問題にならないのですが、(2)と(3)から出てきたm,nが(1)をも満たす ことが言えて、初めて答えになります。 あっそうそう、√3は「ルート3」のつもりです。  

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