ベクトル方程式

質問

いま、ベクトル方程式を勉強しているのですが、図に
疑問があります。
ベクトルAP＝ｔベクトルABより、ベクトルｐ－ベクトルa＝ｔ（ベクトルｂ－ベクトルa）
ベクトルｐ＝（１－ｔ）ベクトルa＋ｔベクトルｂ
なぜ、ｔベクトルAP＝ベクトルABではないのですか？
PがBより外にあったり、ｔが分数なら納得いくのですが

同じような疑問なんですがA（１、２）　B（３、５）を通る直線があり、求める直線上に点P（ｘ、ｙ）をとると
ベクトルAP＝ｔベクトルABとありましたが、これはｔベクトルAP＝ベクトルABではダメなのですか？

教えてください。
お願いします。

回答No.3

suko22 · ベストアンサー

＞ベクトルAP＝ｔベクトルABより、ベクトルｐ－ベクトルa＝ｔ（ベクトルｂ－ベクトルa）
＞ベクトルｐ＝（１－ｔ）ベクトルa＋ｔベクトルｂ

このときｔは任意の実数ですね。任意の実数ｘ、ｙを使ってｐ→＝（x,y）とすると任意のｔについて上式が成り立ちます。

＞なぜ、ｔベクトルAP＝ベクトルABではないのですか？

ｔ＝0のときどうですか？　ＡＢ→＝0・・・？？そんなわけないですよね。　また、同じようにｐ→＝にするときに両辺をｔで割る必要があります。ｔ＝0のときは両辺0で割ることになってしまいますが、0で割ることは数学ではできません。だからこのように置くと、ｔ＝0は除かなければならなくなり扱いが不便になります。

＞同じような疑問なんですがA（１、２）　B（３、５）を通る直線があり、求める直線上に点P（ｘ、ｙ）を＞とると
＞ベクトルAP＝ｔベクトルABとありましたが、これはｔベクトルAP＝ベクトルABではダメなのですか？

前者だとｐ＝（1-ｔ）a→＋ｔb→＝（1-ｔ,2（1-ｔ））＋（3ｔ,5ｔ）＝（1+2ｔ,7ｔ）
ｐ＝（ｘ,ｙ）だからｘ＝1-ｔ+3ｔ、ｙ＝2-2ｔ+5ｔ
ｔを消去すると3ｘ-2ｙ+1＝0

後者だと、t(p→-a→)=b→-a→・・・※
　　　　　t{(x,y)-(1,2)}=(3,5)-(1,2)
t(x-1,y-2)=(2,3)
t(x-1)=2,t(y-2)=3
この式からtを消去すると
x≠1のときt=2/(x-1)
{2/(x-1)}*(y-2)=3
2(y-2)=3(x-1)
3x-2y+1=0
x=1のとき上式に代入するとｙ＝2。よって上式は（1,2）も通ることがわかる。
ゆえに3ｘ-2ｙ+1＝0

こんな風に扱いが面倒になります。
※の時点でｔで割って式を整理するとp→＝（1-1/ｔ）a→＋（1/ｔ）b→となりますが、この式は当然ｔ≠0という条件がついてしまいます。t≠0で同じようにして解くと3ｘ-2ｙ+1＝0がでますが、これはｔ≠0の条件下でのみ成り立ちます。ではｔ＝0のときとはどんなときかというと質問者さんの図を見てください。ｔ＝0のときは点Ｐと点Ａが重なります。すなわちｔ＝0のときは（ｘ、ｙ）＝（1,2）を表しています。3ｘ-2ｙ+1＝0はｔ≠0で求めた式ですからｔ＝0、すなわち（1,2）は通るかどうかはわかりません。だからわざわざ確認しないといけないのです。ｘ＝1、ｙ＝2を3ｘ-2ｙ+1＝0の左辺に代入してそれが右辺に等しくなるかどうか確認しなければいけません。（左辺）＝3*1-2*2+1＝0＝（右辺）。これで任意のｘ、ｙにおいて3ｘ-2ｙ+1＝0が成り立つことがわかる。

できないことはないですがとても面倒です。

ベクトルAP＝ｔベクトルAB（ｔは任意の実数）より、ベクトルｐ－ベクトルa＝ｔ（ベクトルｂ－ベクトルa）
ベクトルｐ＝（１－ｔ）ベクトルa＋ｔベクトルｂ
と置いたほうがよくありませんか？こっちのほうがシンプルですね。

またこれは内分、外分の理解にもつながります。

お礼

回答ありがとうございました。
わかりやすい説明ありがとうございました。

回答No.2

alice_44

＞ なぜ、ｔベクトルAP＝ベクトルABではないのですか？

それでも、ほぼ同じようなものです。

tベクトルAP＝ベクトルAB を変形して、
ベクトルP - ベクトルA = (1/t)(ベクトルB - ベクトルA) から
ベクトルP = (1-u)ベクトルA + uベクトルB ; ただし u = 1/t
となりますからね。

実は、下記のような事情があって、
貴方の書きかたでは、ほんの少しだけマズイのですが。

＞ ベクトルAP＝ｔベクトルABとありましたが、
＞ これはｔベクトルAP＝ベクトルABではダメなのですか？

これも、ベクトルAP = (1/t)ベクトルAB と書き換えれば
ほぼ同じような式なんですが、t に何を代入しても
1/t = 0 にできないので、P = A の場合を表現できない
という問題があります。

お礼

回答ありがとうございました。
参考になりました。

回答No.1

f272

> PがBより外にあったり、ｔが分数なら納得いくのですが

tは分数ではないというような条件がどこかに書かれていましたか？
tは実数です。0<t<1ならばPは線分ABの上にあるし，ｔ<１ならばPは線分ABをBの方の延長した直線上にある。

> ベクトルAP＝ｔベクトルABとありましたが、これはｔベクトルAP＝ベクトルABではダメなのですか？

それでもいいよ。しかし「ベクトルAP＝ｔベクトルAB」としたときのtと，「ｔベクトルAP＝ベクトルAB」としたときのｔは別のもので，互いに逆数の関係にあります。

お礼

回答ありがとうございます。
＞ｔ<１ならばPは線分ABをBの方の延長した直線上にある。
これはｔ＜１ではないのですか？
間違えていたらごめんなさい。