ベクトル方程式 図形のベクトル方程式 の定義

質問

大学受験範囲です

「ベクトル方程式」
「図形のベクトル方程式（例　直線のベクトル方程式　円のベクトル方程式）」
という2つの言葉の定義に関する質問です。

質問(1)
「方程式」と「図形の方程式」は違うものですよね。
「方程式」は変数や未知数を含む等式で
「図形の方程式」は図形上の点の座標が満たす方程式です

さて、「ベクトル方程式」と「図形のベクトル方程式」という用語についてなのですが
「図形のベクトル方程式」の定義に関してはどんな教科書・参考書にも書いてあるのですが
「ベクトル方程式」に関してはどの本にも出ていませんでした。
「ベクトル方程式」という言葉は用いるのでしょうか？
用いるのならばその定義を教えてください。

質問(2)
「図形のベクトル方程式」という用語の定義についてです
例として教科書や参考書からいくつかの定義を引用してみます
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１・曲線上の位置ベクトルが満たす関係式を、その曲線のベクトル方程式という

２・座標平面上の直線L上に点p0をとる
Ｌに平行な一つのベクトルをd→とするとL上の任意の点ｐに対して
p0p→＝ｔd→　を満たす実数tが存在し、tが全ての実数値をとるとき
点ｐは直線L上をくまなく動く
座標の原点をＯ　Ｏｐ0→＝po→　Ｏｐ→＝ｐ→とすると
ｐ→＝p0→＋td→
これを直線のベクトル方程式という
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この他もいくつかの定義を見つけられましたが、いずれも煩雑で、しかもふわふわした定義でした
もうすこし厳密で、簡潔な表現が知りたいです
教えてください

回答No.2

kabaokaba

質問(1)
「方程式」と「図形の方程式」は違うものですよね。
「方程式」は変数や未知数を含む等式で
「図形の方程式」は図形上の点の座標が満たす方程式です
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これは根本的な大間違え．

すべての方程式はかならず何か図形を表現する．
＃逆はいえないと思っていい．

ついでにいえば，変数とか未知数と定数とかいう区分けも実際は無意味．
変数だろうが未知数だろうが同じ．

x^2+ax+b=0

なんかは，たぶん「xが未知数」で，a,bが定数とかいうんだろうけど
これだけじゃあ，aが未知数でa,bが定数とかいってもいい．
何を知りたいのか，どういう視点で見ているのかということが大事で，
数学ではしょっちゅう視点を変えて同じものを違う表現にしたりする．

y=x^2+x+1

というのは「方程式」であると同時に
平面では放物線のグラフを表す．

x^2-1=0

というのは方程式であると同時に
数直線上では二点を，平面上では二つの直線を表す．

もっといってみよう

x^2+ax+b=0

これは空間では平面の放物線をそのまま上下に平行に動かしたような
（放物線の形に曲げた下敷きみたいな）形の図形を表す．
しかし，xの方程式と見れば，a,bを変数とする「二点」（虚数はひとまず考えない）．

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>もうすこし厳密で、簡潔な表現が知りたいです

無理です．
そもそもベクトル方程式ってのは大学受験の世界でしか使わない言葉というか
ベクトル方程式ってのは「方程式」の変種に過ぎないから
数学ではわざわざ別の定義なんか用意する意味がない．

例えば，f(x,y)=x^2+y^-1 という関数．

ベクトルXの位置ベクトルを(x,y)とすれば
f(x,y)=0ってのは，f(X)=0と略記することができて
このf(X)=0ってのは「円のベクトル方程式」となる．
「ベクトルが満たす方程式」だから「ベクトル方程式」

回答No.1

kacchann

曲線の任意の点の「座標値」が満たすべき必要十分条件を、
その曲線の方程式という。

これをベクトルバージョンに変換
↓
曲線(図形)上の任意の点の「位置ベクトル」pがみたすべき必要十分条件を
そのpを使ってベクトル的に表現した数式を
図形の「ベクトル方程式」という。

かな？
(あなたの書いてくれた定義(1)のいってることと同じかと)
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座標点と位置ベクトルは同一視できますから、
「位置ベクトル」という代物を介して
座標値をベクトルに変換してるだけ。