• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

図形のベクトル方程式について

平面上の2定点O、Aと動点Pに対し、次のベクトル方程式で表される円の中心の位置と半径を求めよ。 l2OP-OAl=4 (OPとOAの上には右方向の矢印があります。) この問題で解説を見ると、2OP-OA=4を OP-OA/2=2として、 答えは半径が2で、中心の位置はOAの中点なんですが、なぜ2OP-OA=4を2で割るのかが疑問です。そして中心の位置はOAの中点というのも理解できません。この辺を説明お願いします。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.2

点Oを基準点とします。また基準点はどこに在ってもいいので説明の都合で、 原点(0、0)に合わせます。 位置ベクトルP(↑p)=(x,y), A(↑a)=(s,t)として、 ↑0P=↑p=(x,y)、 ↑0A=↑a=(s,t) です。   |2↑p-↑a|=4 ・・・(1)   |↑p-(1/2)↑a|=2 ・・・(2) このままで中心C(↑a/2)、半径2の円に見えればbetterですが、 これを座標表示すると。  |(x,y)-(s/2,t/2)|=2  |( x-(s/2), y-(t/2) )|=2  √[ {x-(s/2)}^2+{y-(t/2)}^2 ]=2  {x-(s/2)}^2+{y-(t/2)}^2=4・・・(3) これは、中心(s/2,t/2)=(1/2)↑a 、半径2の円です。 (1)が何故不都合かというと、これも座標表示して見ると、  |2(x,y)-(s,t)|=4  | (2x-s , 2y-t) |=4  √[ (2x-s)^2+(2y-t)^2 ]=4  (2x-s)^2+(2y-t)^2=16 となります。 このままでは、半径も中心も判りにくいので、両辺を4で割ります。 (平方しているんで、ベクトル方程式で2で割ることに対応します。)  {x-(s/2)}^2+{y-(t/2)}^2=4 結局は(3)とおなじです。 つまり、   |2↑p-↑a|=4 ・・・(1)、 |↑p-(1/2)↑a|=2 ・・・(2) ↑pの係数が2では判り難いので、 ↑pの係数を1にするために2で割って(2)が判り易いと。 さらに遡ると、  中心が原点、半径r の円は |↑p|=r と表され、  中心が↑α、半径r の円は |↑p-↑α|=r と表されます。 通常この形を円のベクトル方程式と呼ぶようです。 提題の形(1)を(2)に変形する事によって、 中心と半径が判り良くなると。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

その他の回答 (1)

  • 回答No.1
  • ojisan7
  • ベストアンサー率47% (489/1029)

OBを中心とする半径rの円のベクトル方程式は、 |OP-OB|=r です。これと、 lOP-OA/2|=2 を比較して下さい。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 位置ベクトルの問題です。

    こんにちは。 月曜日、ベクトルのテストがあります。 勉強しているのですが、今週は休みが多く、授業がテスト範囲まで進みませんでした。 残りの部分は各自で勉強するように、といわれたのですが、教科書を見ても問題集の解答を読んでもさっぱり分からない問題があります。 問題は以下のものです。 平面上の2定点O,Aと動点Pに対し、次のベクトル方程式で表される円の中心の位置と半径を求めよ。 (注:OP、OAは全てベクトルです) (問1)|2OP-OA|=4 (問2)OP・(OP-2OA)=0 円のベクトル方程式 |p-c|=r (p-a)(p-b)=0 というのを使えばいいのでしょうが、説明を受けていないのでどうやってつかえばいいのかわかりません。 どなたか詳しく解説していただけませんでしょうか。 どうぞよろしくお願いします。

  • ベクトルの問題で分らないのがあるので教えてください

    ※a→は「aベクトル」という意味です。 (1)△OABがあります。点Pが次のベクトル方程式を満たすとき、点Pの描く図形を求めてください。ただし、OA→=a→、OB→=b→、OP→=p→とします。(途中式もお願いします。) (1)|2p→-a→-b→|=4 (2)(p→-a→)・(p→-b→)=0 (2)空間内に4点A(0、1、2)、B(1、0、-1)、C(-1、1、4)、D(x、y、z)があります。 4点A、B、C、Dが同一平面上にあるとき、x、y、zの関係式を求めてください。(途中式もお願いします。) ちなみに答えは、 (1)(1)線分ABの中点を中心とする半径2の円 (2)線分ABを直径とする円 (2)2x-y+z-1=0 です。

  • ベクトル

    スタンダード基113 (1)平面上の相違なる2定点A、Bに対して、|→PA+→PB|>rとなる点Pの存在範囲はどんな図形になるか。ただし、rは正の定数である。 (2)→OA=→a、→OP=→xとするとき、→x(→x - →a)=0を満たす点Pの軌跡は、どんな図形になるか。 解答 (1)線分ABの中点を中心とする半径r/2の円の外部 (2)線分OAを直径とする円 (1)|→OP - →OA + →OB/2|>r/2 解き方が分からないので、 式も含めて解説してもらえるとありがたいです。

  • ベクトル

    平面上の定点O,Pに対して、 |OX|^2-4OX・OP+|OP|^2=0を満たす点X全体の 描く図形は円であり、その半径は ア□|OPベクトル|、 また、その中心をAとするとき、OAベクトル= イ□OPベクトルである。アの□,イの□に入る数字をそれぞれ入れよ。 という問題で、 条件式を|OXベクトル-kOPベクトル|^2=r|OPベクトル|^2の形に変形して 解くのですが、解き方が分かりません。 答えはアの□には√3    イの□には2が入ります。 詳しくわかりやすい説明をお願いします。

  • ベクトルと平面図形です

    平面上の相異なる2定点A,Bに対して|PAベクトル+PBベクトル|>r となるPの存在範囲は、どんな図形になるか。 ただしrは正の定数です 答えは 線分ABの中点を中心とする半径r/2の円の外部です 考え方を教えてください お願いします。

  • ベクトルの問題が…

    高校生ですが、この問題がどうしても解けません。(1)からいろいろ試みましたが不本意ながら出来ませんでした。 問題 鋭角三角形ABCの外心をO、垂心をHとする。また、円Oの周上の動点Pに対し、QはOQ→=1/2(OA→+OB→+OC→)-1/2OP→を満たす点とする。OA→=a→、OB→=b→、OC→=c→とおく。 (1)OH→をa→、b→、c→を用いて表してください (2)OP→=OH→-2OQ→を証明してください (3)点Qの軌跡は円であることを示し、中心と半径を教えて下さい。 答え(1)OH→=a→+b→+c→   (2)証明略   (3)証明略      中心:線分OHの中点      半径:円Oの半径の1/2 よろしくお願いします。

  • ベクトルについて

    ベクトルと平面図形の問題に取り組んでいるのですが、よく分かりません。 次の問題なのですが、解答と解説をしていただけないでしょうか。 平面上の3定点O,A,Bが、|OAベクトル|=1、|OBベクトル|=√3、OAベクトル・OBベクトル=-1を満たしている。 同一平面上で、∠APB=90°となる動点Pを考える。 OPベクトル=sOAベクトル+tOBベクトル(s,tは実数)と表すとき、sとtの間に成り立つ関係式を求めよ。 また、三角形OPAの面積の最大値を求めよ。 以上です。どうかお願いします。

  • 図形と方程式

    Oを原点とする座標平面上に、半径がすべてr(rは正の定数)である3つの円C1、C2、C3がある。円C1、C2の中心は、それぞれO、A(-6,8)である。また、円C3は2つの円C1、C2に外接し、その中心Bは第1象限にある。 (1)線分OAの二等分線の方程式を求めよ。 →自力で解けました。 y=3/4x+25/4です。 (2)円C1、C2が2点L、Mで交わり、LM=5であるとき、rの値と点Bの座標を求めよ。 →△ONLで三平方の定理を使い、点Bのx座標をaとおき、OB^2=(2r)^2であることに式に表す。を使いそうです。 (3)(2)のとき、円C3の周上に動点Pをとる。OP^2+AP^2の最小値を求めよ。 →P(s,t)とおくとOP^2+AP^2になり、NP^2もs、tの式にするそうです。 解答と解説をお願いします。

  • 円のベクトル方程式 直線のベクトル方程

    平面上に原点Oと異なる点Aをとり、→(a)=→(OA)とおく。このとき次の各問いに答えよ。 ただし、→(p)は円または直線上の任意の点の位置ベクトルとする。 (1)点Aを中心とし、原点Oを通る円のベクトル方程式を求めよ。 (2)点Aを通り、ベクトル→(a)に垂直な直線のベクトル方程式を求めよ。 いまだに解き方を理解できていません。 お手数おかけしますがご協力をお願いします。

  • ベクトル方程式

    直線のベクトル方程式のことで質問があります。 平面上に直線ABがあるとします。 これのベクトル方程式を求めたいのですが 模範的な式だと OP→=OA→+tAB→  (tは実数) これを、 OP→=OA→-tBA→ あるいは OP→=OB→+tBA→ としても成り立つのでしょうか?? とても、初歩的な質問ですがよろしくお願いしますm(__)m