ベクトル方程式

質問

xyz空間に4点Ｏ(0,0,0)、Ａ(1,-2,-1)、Ｂ(-2,-5,0)、Ｃ(2,1,0)をとる。
以下の問に答えなさい。
・直線ABとyz平面との交点を求めなさい。
直線ABの求めからすらわからない状況です。
ベクトル方程式を使うらしいのですが・・・。
ご教授よろしくお願いしますm(__)m

回答No.4

kkkk2222

直線の方程式の基本
方向vectorｄ（directionの頭文字です。）
位置vectorｐとして、動点Ｐ（ｐ）
位置vectorａとして、定点Ａ（ａ）
位置vectorａとして、定点Ｂ（ｂ）
任意の実数ｔ
直線の方程式のvector表示は
vetorｐ＝vectorａ＋ｔvectorｐ　以下次の様に表示
ｐ＝ａ＋ｔｄ　　　
または
ｐ＝ａ＋ｔ（ｂ－ａ）　　これらをベクトル表示と呼ぶ。

本問題では
ｐ＝（ｘ、ｙ、ｚ）
ａ＝（１、－２、－１）
ｂ＝（－２、－５、０）

（ｘ、ｙ、ｚ）＝（１、－２、－１）＋ｔ（（－２、－５、０）ー（１、－２、－１））
（ｘ、ｙ、ｚ）＝（１、－２、－１）＋ｔ（－３、－３、１）

ｘ＝１－３ｔ
ｙ＝－２ー３ｔ
ｚ＝－１＋ｔ　　これらを媒介変数表示とよぶ。

ｔを消去して

（ｘー１）／（－３）＝（ｙ＋２）／（－３）＝（ｚ＋１）／１　　
これを座標表示と呼ぶ。
逆に　これから方向vectorｄを読み取る。
ｄ＝（－３、－３、１）
すべての形式を直線の方程式と呼ぶ。

＞＞yz平面

ｘ＝０　（ｙ、ｚは任意）

＞＞ABとyz平面との交点

媒介変数表示を利用して、
ｘ＝１－３ｔ
ｘ＝０　（ｙ、ｚは任意）　より
ｔ＝１／３　　さらに媒介変数表示に代入して。　
（ｘ、ｙ、ｚ）＝（０、－３、ー２／３）

計算間違い可能性あります。
あれ　Ｃ(2,1,0)は使ってないですね。

回答No.3

y_akkie

直線ＡＢのベクトル方程式は、
ＯＡ→＋ｔ（ＡＢ→）（ｔは媒介変数）によって求められます。
この公式はかなり重要なので、ぜひ、覚えておいてください。
ＡＢ→は方向ベクトルであり、Ａは通過点になります。
そして、ｙｚ平面との交点のｘ座標が０になる事を利用すれば
交点の座標を求める事ができます。

回答No.2

HotaruT

ベクトルa＝ベクトルOA、ベクトルb＝ベクトルOB としたとき、（以下「ベクトル」の字を省略して書きます）
直線ABを、パラメータtを使って
　ベクトルx＝ta＋(1－t)b
と表せます。
yz平面上の点はx座標の値が0なので、
上記ベクトルxのx成分が0となるようにtの値を決めてやれば、
直線ABとyz平面との交点の座標が求まります。

回答No.1

Goswami

まずは直感的にわかりやすいように平面ベクトルを例にして考えましょう。

　例えばP(2,3),Q(4,5)として、直線PQをベクトル方程式をもちいて表してみます。実際に座標平面上に点P、Qを書いてみてください。直線PQをベクトルを用いて表すとは直線PQ上に存在する、任意の点Rの位置ベクトルを求めるということです。簡単にいうと直線PQ上の好きな位置にRをとってそのRの座標を求めるというわけです。このとき,原点OとするとベクトルORは図より
　　 OR=OP+k*PQ　　kは実数
です。座標平面をよくにらむとわかると思います。もちろん
　　　　　　　　　　　　OR=OQ+l*PQ lは実数
でも良いわけです。これを成分ごとに計算すればk,l(これを媒介変数という）を用いてRの位置ベクトルの成分を表すことができます。このように媒介変数を用いる表し方をベクトル方程式といいます。OR=(x,y)として、kやlを消去すると・・・納得すると思います。　　　　

　さて、この手法を用いて問題の直線ABをベクトル方程式を用いて表す（直線AB上の任意の点Pの位置ベクトルの成分を媒介変数を用いて表す）と

　 OP=OA+k*AB kは実数
となります。実際にベクトルABの各成分を計算して上の式に代入すれば良いわけです。そしてOPが表されたとします。「直線ABとyz平面との交点」、つまりその交点がPであるとすれば、Pはyz平面上にあるのでPのx座標は0です。つまり、つまりPのx成分が0なので先ほど媒介変数表示で求めたx成分＝0とおくとkが求まるので、そのkをy,z成分に代入すれば・・・。

　説明がへたくそで申し訳ありません。