数Ｂ空間ベクトルの問題

質問

数Ｂ空間ベクトルの問題です。
解説をお願いします。
空間に４点O,A,B,Cがあり、
三本の線分OA,AB,BCについて OA=AB=BC=1,OA⊥AB,AB⊥BCが与えられている。
この四面体で体積が最大となる 四面体を考える。
↑OA・↑BC=□ だから体積は□/□ である。さらに、頂点Bから平面OACに垂直な直線を引き、その交点をHとすると、
│↑BH│=√□/□ であり、 ↑OH=↑OA+(□/□)*↑AB+ (□/□)*↑BC である。
□にあてはまる値を解説して下さい。よろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞空間に４点O,A,B,Cがあり、
＞ 三本の線分OA,AB,BCについて OA=AB=BC=1,OA⊥AB,AB⊥BCが与えられている。
＞この四面体で体積が最大となる 四面体を考える。
|OA|＝|AB|＝|BC|＝1，OA・AB＝AB・BC＝0　……(*)

＞ ↑OA・↑BC=□ だから体積は□/□ である。
OA⊥△ABCだから、OA⊥BCより、OA・BC＝0　……(1)答え

OA＝1を高さとすると、底面△ABCは、等辺1の直角二等辺三角形　だから、
四面体の体積＝(1/3)・{(1/2)・1・1}・1＝1/6　……(2)答え

＞さらに、頂点Bから平面OACに垂直な直線を引き、その交点をHとすると、
＞│↑BH│=√□/□ であり、 ↑OH=↑OA+(□/□)*↑AB+ (□/□)*↑BC である。
△ABCは、等辺1の直角二等辺三角形　だから、斜辺AC＝√2

OA⊥△ABCだから、OA⊥ACより、∠OAC＝90°から、△OACは直角三角形。だから、
△OACの面積＝(1/2)・OA・AC＝(1/2)・1・√2＝√2/2

BH⊥△OACだから、高さをBH，底面を△OACとすると、(2)より、
四面体の体積＝(1/3)・(√2/2)・BH＝1/6
だから、BH＝(1/6)・(6/√2)＝√2/2　……(3)
よって、|BH|＝√2/2　……答え

BH⊥平面OACだから、BH⊥ACより、HはACとの交点（垂線の足）だから、HはAC上の点。
だから、Hは平面OAC上にあるから、OHは平面OAC上の直線。

BH⊥平面OACだから、BH⊥OHより、∠OHB＝90°から、△OBHは直角三角形。
△OABも等辺1の直角二等辺三角形　だから、斜辺OB＝√2
だから、(3)より、OH^2＝OB^2－BH^2＝(√2)^2－(√2/2)^2＝3/2　……(4)

A,H,Cは一直線上にあるから、AH＝kAC(k＞0）とおける。
以下はベクトルとすると、
OH－OA＝k(AB＋BC)より、
OH＝OA＋kAB＋kAC　……(5)
|OH|^2
＝|OA|^2＋k^2|AB|^2＋k^2|BC|^2＋2k(OA・AB)＋2k^2(AB・BC)＋2k(BC・OA)
(*)と(1)と(4)より、
＝1＋k^2・1＋k^2・1＋0＋0＋0
＝1＋2k^2
＝3/2
2k^2＝1/2より、k^2＝1/4で、k＞0だから、k＝1/2
よって、(5)に代入して、
OH＝OA＋(1/2)AB＋(1/2)BC　……最後の答え

図をかいて確認してみてください。

回答No.1

info22_

>↑OA・↑BC=0 だから体積は 1/6 である。
(解説)
体積=底面積×高さ/3＝△ABO×BC/3=(1*1/2)*1/3=1/6

>│↑BH│=√2/2 であり、 ↑OH=↑OA+(1/2)*↑AB+ (1/2)*↑BC である。
(解説)
平面OACの方程式は y=z であるから
Hは線分ACの中点で
　↑AH＝(1/2)↑AC = (1/2)(↑AB+↑BC)
　↑OH＝ ↑OA+↑AH = ↑OA+(1/2)(↑AB+↑BC)
　　　＝ (1,1/2,1/2)