このベクトルの問題を教えてください。

質問

このベクトルの問題を教えてください。
問題は
平面上に三角形ＡＢＣがあり、実数ｔが０≦ｔ≦１の範囲で動くとき、
ＡＰベクトル＋２ｔＢＰベクトル＋（１－ｔ）ＣＰベクトル＝０ベクトルをみたす
点Ｐの軌跡を求めよ。
です。
僕はまず、ベクトルの始点を原点にそろえて、Ｐベクトルについての方程式を立てたんですが、その先がわかりません。
何回も計算しても答えが合いません。
ちなみに答えは
線分ＡＢを２：１に内分する点と線分ＡＣの中点を結んだ線分
です。

回答No.2

strikerzwei · ベストアンサー

Aを原点にもってっき、AB=b　AC=c　AP=pとおく。

ＡＰベクトル＋２ｔＢＰベクトル＋（１－ｔ）ＣＰベクトル

=p+2t(p-b)+(1-t)(p-c)

=(2+t)p-{2tb+(1-t)c}

=0

よってp={2tb+(1-t)c}/(2+t)

t=1のときp=2b/3、つまりABを2:1に内分する点 t=0のときp=c/2、つまりACの中点

よってp=k2/3b+hc/2(ただしk=3t/2+t、h=2-2t/2+t、k+h=1を満たす)

これより点Pは線分ＡＢを２：１に内分する点と線分ＡＣの中点とを結んだ線分を

h:kに内分する点だと分かる。

つまり点Pの集合は線分ＡＢを２：１に内分する点と線分ＡＣの中点を結んだ線分となる。

いかがでしょうか？

補足

p=k2/3b+hc/2(ただしk=3t/2+t、h=2-2t/2+t、k+h=1を満たす)の部分がわかりません。

回答No.5

muturajcp

AP+2tBP+(1-t)CP=0
P-A+2t(P-B)+(1-t)(P-C)=0
(2+t)P=A+2tB+(1-t)C
P=(A+2tB+(1-t)C)/(2+t)
P={(1-t)(A+C)+t(A+2B)}/(2+t)
P={2(1-t)/(2+t)}{(A+C)/2}+{3t/(2+t)}{(A+2B)/3}
u=3t/(2+t)とすると0≦u≦1
{2(1-t)/(2+t)}+u=1だから
P=(1-u){(A+C)/2}+u{(A+2B)/3}
∴線分ACの中点(A+C)/2と
線分ABを2:1に内分する点(A+2B)/3を結んだ線分

回答No.4

Tacosan

終わった話ではあるんだけど,
p={2tb+(1-t)c}/(2+t)
って書かれても, p とか b とか c が何を表すか書かなきゃ意味ないだろうに.

回答No.3

strikerzwei

ABベクトル=b、ACベクトル=c　APベクトル=pでした

補足

原点ではなく、Ａを始点に考えればよかったんですね。

回答No.1

Tacosan

途中までどのようになったのか書いてみてください.

補足

途中まで計算すると
p={2tb+(1-t)c}/(2+t)
になりました。